Chủ đề này có 7 trả lời

[toanhoc]

Có bạn nào biết cách viết 1 group ring thành tổng trực tiếp của các indecomposable submodules khong ?
Ví dụ: FZ_5 với F=Z_5; FD_10 với F=Z_5.

[Kakalotta]

Nói chung đây là một câu hỏi gần như không có cách trả lời.
Nói chung mình nghĩ có thể trả lời một cách gần đúng thế này nhé:
Cách phân tích này chỉ có thể xây dựng được nếu như ta có thể phân loại được hết tất cả các biểu diễn bất khả quy của đại số nhóm này và do đó cần phải tìm hết tất cả các biểu diễn của nhóm G. Đây là một câu hỏi rất khó và chỉ có thể giải quyết được trong 1 số trường hợp cụ thể.
Cụ thể hơn, nếu nhóm G là nhóm compact thì tất cả các biểu diễn của nó là hữu hạn chiều và được realize trong L^2(G). Thông qua biến đổi Gelfand thì ta thu được:


đối với các đối tượng khác thì người ta vẫn chưa có thể giải quyết được toàn bộ. Ví dụ, đối với các nhóm Lie reductive thực thì đây vẫn chưa giải quyết được mặc dù được rất nhiều đại gia quan tâm.
đối với các trường hợp cụ thể kiểu như C[Z_n] của bạn thì lý thuyết này đã hoàn thiện và có thể tìm thấy trong nhiều tài liệu tham khảo. Bạn có thể xem trong cuốn Abs. Harmonic Ana của Hewitt và ross thì phải xem có không. Mình không quan đến giải tích điều hòa trên nhóm hữu hạn nên cũng chưa bao giờ thử tận tay tính thử.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kakalotta: 12-02-2005 - 15:50

[toanhoc]

Cám ơn bạn Kakalotta đã trả lời. Thực ra thì mình chỉ cần cho các nhóm hữu hạn trên trường hữu hạn thôi, nhất là trong trường hợp không áp dụng được định lý Mascke thì phải làm sao ?

[Kakalotta]

À mình hiểu rồi. Bạn quan tâm đến lý thuyết biểu diễn và giải tích điều hòa trên các nhóm hữu hạn kiểu Lie. Nếu vậy thì những gì mình post trên kia bạn có thể quên đi vì nó dựa trên quan điểm của đại số toán tử nên không thể áp dụng cho các trường hợp này. Để mình xem xem bạn bè mình có ai quan tâm đến kiểu này không?

[bupbebe]

Có bạn nào biết cách viết 1 group ring thành tổng trực tiếp của các indecomposable submodules khong ?
Ví dụ: FZ_5 với F=Z_5; FD_10 với F=Z_5.

Hi Toanhoc,

Trong trường hợp modular, đặc trưng không nguyên tố với bậc của nhóm
thì F[G] không còn semisimple nữa nên nói chung không phân tích được thành tổng các mô đun bất khả qui.

Một trong các cách để phân tích (decompose) một nhóm-đại số (group algebra)
như F[G] là đi tìm các idempotents của nó. Tôi không biết dịch idempotent sang tiếng Việt như thế nào.

DN của một idempotent rất đơn giản: Đó là cảc phần tử a khác 0, thỏa mãn tính chất a^2 =a.

Nếu idempotent như trên tồn tại thì có thể phân tích được



Ví dụ nếu F= F_3 và G= C_2 = <e,a> - nhóm cyclic có hai phần tử, e là đơn vị, a^2 =e. Có thể kiểm tra được 2a+2e và a-e là hai idempotents trực giao (tổng của chúng đúng bằng e). Vì thế

.

Về vấn đề này toanhoc có thể tham khảo cuốn sách của D. Benson "Representations and cohomology", tập một; hoặc Curtis-Reiner "Methods of representation theory".

[Kakalotta]

Thì cũng thế thôi. Một toán tử Idempotent thì tương đương với một toán tử chiếu và việc tìm ra một phân tích như vậy thì tương đương (hiểu theo một nghĩa nào đó) là tìm ra các không gian con bất biến mà một C* đại số nhóm tác động lên, hay nói cách khác là phân tích biểu diễn chính quy của C*[G] ra các biểu diễn bkq. Việc này chỉ có thể thực hiện được nếu ta có thể phân loại được đầy đủ đối ngẫu của G.
Mình nghĩ là tham khảo cuốn element òf the theory of representations cua A.A. Kirillov. Đây là cuốn chuyên khảo rất nổi tiếng về lý thuyết biểu diễn và có đầy đủ tất cả các thứ mà bạn cần. Lúc trước mình chưa giới thiệu vì sợ cuốn này hơi khó.

[toanhoc]

To bupbebe:
Cảm ơn cậu đã trả lời. Mình nghĩ cậu hiểu sai ý mình. Indecomposable modules không phải là ireducible modules. Irreducible module la simple module còn indecomposable nghĩa là không thể viết module đó thành tổng trực tiếp của 2 module con.
Cái cậu nói là Maschke's theorem. Nếu charF does not divide |G| thì F[G] sẽ completely reducible.
Phân tích thành indecomposable thì luôn tồn tại trong mọi trường hợp, nhưng nếu charF divides |G| thì indecomposable không phải là irreducible, lúc này nó là minimally potent ideals và là right projective modules

To Kaka:
Mình đã thử làm giống như cậu nói: tìm các subspaces mà G acts invariantly, đã tìm ra nhưng chưa show được nó là indecomposable. Còn việc tìm cụ thể các idempotents thì tớ chịu. Xưa nay tớ thấy các idempotént chỉ có ý nghĩa trong chứng minh lý thuyết, còn cụ thể thì chẳng biết sao tìm, cái cậu bupbebe đề cập là ổthgonal idempotent thì trong các sách Ring Thẻoy đều có nói.

Nhân tiện các cậu chỉ mình cách tắt gõ tiếng Việt khi gõ đi. Mình gõ nó cứ ra dấu lọan lên.

Cám ơn nhiều

[bupbebe]

Hi Toanhoc,

Trong vài trường hợp đơn giản thì có thể tìm được hết các idempotents, còn nói chung tôi cũng không biết tìm thế nào ngoài cách lý thuyết bảo.

Với nhóm cyclic thì có công thức tường minh cho các idempotents. Với
F_p [C_p] thì có (p-1) primitive (nguyên thủy?) idempotents. Với F_5 [C_10] chẳng hạn thì cũng có thể qui về F_5 [C_5] được vì C_5 là nhóm con 5-Sylow của C_10.