Cho a, b, c là các số thực không âm.
CMR: $\sqrt[3]{(\frac{a}{b+c})^{2}}+\sqrt[3]{(\frac{b}{a+c})^{2}}+\sqrt[3]{(\frac{c}{a+b})^{2}}\geq \frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$
Cho a, b, c là các số thực không âm.
CMR: $\sqrt[3]{(\frac{a}{b+c})^{2}}+\sqrt[3]{(\frac{b}{a+c})^{2}}+\sqrt[3]{(\frac{c}{a+b})^{2}}\geq \frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$
Cho a, b, c là các số thực không âm.
CMR: $\sqrt[3]{(\frac{a}{b+c})^{2}}+\sqrt[3]{(\frac{b}{a+c})^{2}}+\sqrt[3]{(\frac{c}{a+b})^{2}}\geq \frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$
Chuẩn hóa $a+b+c=3$
Sử dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có:
$\left ( \sum \sqrt[3]{\left ( \frac{a}{b+c} \right )^2} \right ).\left ( \sum a\sqrt[3]{a(b+c)^2} \right ) \geq (a+b+c)^2=9$
Sử dụng BĐT $AM-GM$ ta có:
$\sum a\sqrt[3]{a(b+c)^2}=\sum \frac{a}{\sqrt[3]{2}}.\sqrt[3]{(2a).(b+c).(b+c)} \leq \sum \frac{a}{27\sqrt[3]{2}}.(2a+2b+2c)^3= \frac{6}{\sqrt[3]{2}}$
$\Rightarrow \sum \sqrt[3]{\left ( \frac{a}{b+c} \right )^2} \geq 9.\frac{\sqrt[3]{2}}{6}=\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$
Xảy ra dấu $"="$ khi $a=b=c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Minh Hai: 07-07-2015 - 00:09
Chuẩn hóa $a+b+c=3$
Sử dụng BĐT $Holder$ ta có:
$\left ( \sum \sqrt[3]{\left ( \frac{a}{b+c} \right )^2} \right ).\left ( \sum \sqrt[3]{a} \right ).\left ( \sum \sqrt[3]{(b+c)^2} \right ) \geq (a+b+c)^3=27$
Sử dụng BĐT $AM-GM$ ta có:
$\sum \sqrt[3]{a} \leq \sum \frac{a+2}{3}=3$
$\sum \sqrt[3]{(b+c)^2} \leq \frac{1}{\sqrt[3]{2}}\sum \frac{2(b+c)+2}{3}=\frac{6}{\sqrt[3]{2}}$
$\Rightarrow \sum \sqrt[3]{\left ( \frac{a}{b+c} \right )^2} \geq 27.\frac{1}{3}.\frac{\sqrt[3]{2}}{6}=\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$
Xảy ra dấu $"="$ khi $a=b=c$
Sai rồi! Holder phải ra là $(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})^{3}$ chứ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lam Ba Thinh: 06-07-2015 - 23:54
Sai rồi! Holder phải ra là $(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})^{3}$ chứ?
Mình nhầm. Đả fix bằng Cauchy-Schwarz!
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh