Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

CMR: $\sum \sqrt[3]{(\frac{a}{b+c})^{2}}\geq \frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$

bất đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Capture

Capture

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 06-07-2015 - 21:10

Cho a, b, c là các số thực không âm.

CMR: $\sqrt[3]{(\frac{a}{b+c})^{2}}+\sqrt[3]{(\frac{b}{a+c})^{2}}+\sqrt[3]{(\frac{c}{a+b})^{2}}\geq \frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$

 



#2 Nguyen Minh Hai

Nguyen Minh Hai

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{THPT}}$ $ \boxed{\textrm{Chuyên Quốc Học}} $
  • Sở thích:$\star\textrm{Tìm hiểu}\star$
    $\textrm{Văn hóa Nhật Bổn}$

Đã gửi 06-07-2015 - 21:57

Cho a, b, c là các số thực không âm.

CMR: $\sqrt[3]{(\frac{a}{b+c})^{2}}+\sqrt[3]{(\frac{b}{a+c})^{2}}+\sqrt[3]{(\frac{c}{a+b})^{2}}\geq \frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$

Chuẩn hóa $a+b+c=3$

Sử dụng  BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có:

 

$\left ( \sum \sqrt[3]{\left ( \frac{a}{b+c} \right )^2} \right ).\left ( \sum a\sqrt[3]{a(b+c)^2} \right ) \geq (a+b+c)^2=9$

 

Sử dụng BĐT $AM-GM$ ta có:

 

$\sum a\sqrt[3]{a(b+c)^2}=\sum \frac{a}{\sqrt[3]{2}}.\sqrt[3]{(2a).(b+c).(b+c)} \leq \sum \frac{a}{27\sqrt[3]{2}}.(2a+2b+2c)^3= \frac{6}{\sqrt[3]{2}}$

 

$\Rightarrow \sum \sqrt[3]{\left ( \frac{a}{b+c} \right )^2} \geq 9.\frac{\sqrt[3]{2}}{6}=\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$

 

Xảy ra dấu $"="$ khi $a=b=c$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Minh Hai: 07-07-2015 - 00:09


#3 Lam Ba Thinh

Lam Ba Thinh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn Bình Định

Đã gửi 06-07-2015 - 23:54

Chuẩn hóa $a+b+c=3$

Sử dụng  BĐT $Holder$ ta có:

 

$\left ( \sum \sqrt[3]{\left ( \frac{a}{b+c} \right )^2} \right ).\left ( \sum \sqrt[3]{a} \right ).\left ( \sum \sqrt[3]{(b+c)^2} \right ) \geq (a+b+c)^3=27$

 

Sử dụng BĐT $AM-GM$ ta có:

$\sum \sqrt[3]{a} \leq \sum \frac{a+2}{3}=3$

 

$\sum \sqrt[3]{(b+c)^2} \leq \frac{1}{\sqrt[3]{2}}\sum \frac{2(b+c)+2}{3}=\frac{6}{\sqrt[3]{2}}$

 

$\Rightarrow \sum \sqrt[3]{\left ( \frac{a}{b+c} \right )^2} \geq 27.\frac{1}{3}.\frac{\sqrt[3]{2}}{6}=\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$

 

Xảy ra dấu $"="$ khi $a=b=c$

Sai rồi! Holder phải ra là $(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})^{3}$ chứ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lam Ba Thinh: 06-07-2015 - 23:54


#4 Nguyen Minh Hai

Nguyen Minh Hai

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{THPT}}$ $ \boxed{\textrm{Chuyên Quốc Học}} $
  • Sở thích:$\star\textrm{Tìm hiểu}\star$
    $\textrm{Văn hóa Nhật Bổn}$

Đã gửi 07-07-2015 - 00:09

Sai rồi! Holder phải ra là $(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})^{3}$ chứ?

Mình nhầm. Đả fix bằng Cauchy-Schwarz!







0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh