Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: $\sum \sqrt[3]{(\frac{a}{b+c})^{2}}\geq \frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$

bất đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Capture

Capture

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết

Cho a, b, c là các số thực không âm.

CMR: $\sqrt[3]{(\frac{a}{b+c})^{2}}+\sqrt[3]{(\frac{b}{a+c})^{2}}+\sqrt[3]{(\frac{c}{a+b})^{2}}\geq \frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$

 



#2
Nguyen Minh Hai

Nguyen Minh Hai

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết

Cho a, b, c là các số thực không âm.

CMR: $\sqrt[3]{(\frac{a}{b+c})^{2}}+\sqrt[3]{(\frac{b}{a+c})^{2}}+\sqrt[3]{(\frac{c}{a+b})^{2}}\geq \frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$

Chuẩn hóa $a+b+c=3$

Sử dụng  BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có:

 

$\left ( \sum \sqrt[3]{\left ( \frac{a}{b+c} \right )^2} \right ).\left ( \sum a\sqrt[3]{a(b+c)^2} \right ) \geq (a+b+c)^2=9$

 

Sử dụng BĐT $AM-GM$ ta có:

 

$\sum a\sqrt[3]{a(b+c)^2}=\sum \frac{a}{\sqrt[3]{2}}.\sqrt[3]{(2a).(b+c).(b+c)} \leq \sum \frac{a}{27\sqrt[3]{2}}.(2a+2b+2c)^3= \frac{6}{\sqrt[3]{2}}$

 

$\Rightarrow \sum \sqrt[3]{\left ( \frac{a}{b+c} \right )^2} \geq 9.\frac{\sqrt[3]{2}}{6}=\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$

 

Xảy ra dấu $"="$ khi $a=b=c$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Minh Hai: 07-07-2015 - 00:09


#3
Lam Ba Thinh

Lam Ba Thinh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết

Chuẩn hóa $a+b+c=3$

Sử dụng  BĐT $Holder$ ta có:

 

$\left ( \sum \sqrt[3]{\left ( \frac{a}{b+c} \right )^2} \right ).\left ( \sum \sqrt[3]{a} \right ).\left ( \sum \sqrt[3]{(b+c)^2} \right ) \geq (a+b+c)^3=27$

 

Sử dụng BĐT $AM-GM$ ta có:

$\sum \sqrt[3]{a} \leq \sum \frac{a+2}{3}=3$

 

$\sum \sqrt[3]{(b+c)^2} \leq \frac{1}{\sqrt[3]{2}}\sum \frac{2(b+c)+2}{3}=\frac{6}{\sqrt[3]{2}}$

 

$\Rightarrow \sum \sqrt[3]{\left ( \frac{a}{b+c} \right )^2} \geq 27.\frac{1}{3}.\frac{\sqrt[3]{2}}{6}=\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$

 

Xảy ra dấu $"="$ khi $a=b=c$

Sai rồi! Holder phải ra là $(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})^{3}$ chứ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lam Ba Thinh: 06-07-2015 - 23:54


#4
Nguyen Minh Hai

Nguyen Minh Hai

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết

Sai rồi! Holder phải ra là $(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})^{3}$ chứ?

Mình nhầm. Đả fix bằng Cauchy-Schwarz!







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh