Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x+y+z=1
Tìm Min của F = $\frac{x^{4}}{(x^{2}+y^{2})(x+y)}+\frac{y^{4}}{(y^{2}+z^{2})(y+z)}+\frac{z^{4}}{(z^{2}+x^{2})(z+x)}$
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x+y+z=1
Tìm Min của F = $\frac{x^{4}}{(x^{2}+y^{2})(x+y)}+\frac{y^{4}}{(y^{2}+z^{2})(y+z)}+\frac{z^{4}}{(z^{2}+x^{2})(z+x)}$
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x+y+z=1
Tìm Min của F = $\frac{x^{4}}{(x^{2}+y^{2})(x+y)}+\frac{y^{4}}{(y^{2}+z^{2})(y+z)}+\frac{z^{4}}{(z^{2}+x^{2})(z+x)}$
Xét: $F=\sum\frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}$
và: $E=\sum\frac{y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}$
Ta có: $F-E=\sum\frac{x^4-y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}=\sum\frac{(x^2+y^2)(x+y)(x-y)}{(x^2+y^2)(x+y)}=\sum (x-y)=0$
Suy ra: $F=E$
Do đó, $2F=F+E=\sum\frac{x^4+y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}$
Ta có: $x^4+y^4\geq\frac{(x^2+y^2)^2}{2}=\frac{x^2+y^2}{2}.(x^2+y^2)\geq\frac{x^2+y^2}{2}.\frac{(x+y)^2}{2}=\frac{(x^2+y^2)(x+y)^2}{4}$
nên: $\sum\frac{x^4+y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}\geq\sum\frac{x+y}{4}=\frac{1}{4}.2.\sum x=\frac{1}{2}$ Do $\sum x=1$
hay $2F\geq\frac{1}{2}$
Suy ra: $F\geq\frac{1}{4}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 07-07-2015 - 13:27
$\boxed{\textrm{Silence is the peak of contempt!}}$
If you see this, you will visit my facebook.....!
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x+y+z=1
Tìm Min của F = $\frac{x^{4}}{(x^{2}+y^{2})(x+y)}+\frac{y^{4}}{(y^{2}+z^{2})(y+z)}+\frac{z^{4}}{(z^{2}+x^{2})(z+x)}$
Lời giải
Xuất phát từ đẳng thức $x-y+y-z+z-x=0$
$\Leftrightarrow F=\frac{y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+\frac{z^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+\frac{x^4}{(z^2+x^2)(z+x)}$
$\Rightarrow 2F=\sum \frac{x^4+y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}\geq \sum \frac{(x^2+y^2)^2}{2(x^2+y^2)(x+y)}=\frac{x^2+y^2}{2(x+y)}\geq \sum \frac{(x+y)^2}{4(x+y)}= \sum \frac{x+y}{4}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow F\geq \frac{1}{4}$
$\min F=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của biểu thức $N= 6 - 3a - 4b + 2ab$Bắt đầu bởi Phuockq, 10-04-2024 cực trị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
min $P=\sum \frac{a^{2}b^{2}}{c(a^{2}+b^{2})}$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 25-01-2024 cực trị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
GTNN của $A=a^{2}+2b^{2}+b$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 20-01-2024 cực trị |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
GTNN của biểu thức $A=x+\sqrt{x^{2}+\frac{8}{x}}$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 19-01-2024 cực trị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
tìm max của $P=-4a^{2}+36b-8$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 19-01-2024 cực trị |
|
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh