Chủ đề này có 2 trả lời

[Capture]

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x+y+z=1

Tìm Min của F = $\frac{x^{4}}{(x^{2}+y^{2})(x+y)}+\frac{y^{4}}{(y^{2}+z^{2})(y+z)}+\frac{z^{4}}{(z^{2}+x^{2})(z+x)}$

 

[vda2000]

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x+y+z=1

Tìm Min của F = $\frac{x^{4}}{(x^{2}+y^{2})(x+y)}+\frac{y^{4}}{(y^{2}+z^{2})(y+z)}+\frac{z^{4}}{(z^{2}+x^{2})(z+x)}$

Xét: $F=\sum\frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}$

và: $E=\sum\frac{y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}$

Ta có: $F-E=\sum\frac{x^4-y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}=\sum\frac{(x^2+y^2)(x+y)(x-y)}{(x^2+y^2)(x+y)}=\sum (x-y)=0$

Suy ra: $F=E$

Do đó, $2F=F+E=\sum\frac{x^4+y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}$

Ta có: $x^4+y^4\geq\frac{(x^2+y^2)^2}{2}=\frac{x^2+y^2}{2}.(x^2+y^2)\geq\frac{x^2+y^2}{2}.\frac{(x+y)^2}{2}=\frac{(x^2+y^2)(x+y)^2}{4}$

nên: $\sum\frac{x^4+y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}\geq\sum\frac{x+y}{4}=\frac{1}{4}.2.\sum x=\frac{1}{2}$ Do $\sum x=1$

hay $2F\geq\frac{1}{2}$

Suy ra: $F\geq\frac{1}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 07-07-2015 - 13:27

[nguyenhongsonk612]

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x+y+z=1

Tìm Min của F = $\frac{x^{4}}{(x^{2}+y^{2})(x+y)}+\frac{y^{4}}{(y^{2}+z^{2})(y+z)}+\frac{z^{4}}{(z^{2}+x^{2})(z+x)}$

Lời giải

Xuất phát từ đẳng thức $x-y+y-z+z-x=0$

                                     $\Leftrightarrow F=\frac{y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+\frac{z^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+\frac{x^4}{(z^2+x^2)(z+x)}$

$\Rightarrow 2F=\sum \frac{x^4+y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}\geq \sum \frac{(x^2+y^2)^2}{2(x^2+y^2)(x+y)}=\frac{x^2+y^2}{2(x+y)}\geq \sum \frac{(x+y)^2}{4(x+y)}= \sum \frac{x+y}{4}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow F\geq \frac{1}{4}$

$\min F=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$