Chủ đề này có 2 trả lời

[eminemdech]

Cho $a,b,c\geq 0$, chứng minh $\sqrt{\frac{a+2b}{3}}+\sqrt{\frac{b+2c}{3}}+\sqrt{\frac{c+2a}{3}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

[Lam Ba Thinh]

Áp dụng BĐT: $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+m^2}+\sqrt{y^2+n^2}\geq \sqrt{(a+x+y)^2+(b+m+n)^2}$

Ta có: $\sum \sqrt{a+2b}\geq \sqrt{(\sum \sqrt{a})^2+2(\sum\sqrt{a})^2}=\sqrt{3}\sum \sqrt{a}$

$\Rightarrow đpcm$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lam Ba Thinh: 07-07-2015 - 18:05

[Phung Quang Minh]

Cho $a,b,c\geq 0$, chứng minh $\sqrt{\frac{a+2b}{3}}+\sqrt{\frac{b+2c}{3}}+\sqrt{\frac{c+2a}{3}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

-Ta có: \[\frac{{a + b + b}}{3} \ge \frac{{{{(\sqrt a  + \sqrt b  + \sqrt b )}^2}}}{9} =  > \sqrt {\frac{{a + 2b}}{3}}  \ge \frac{{\sqrt a  + 2\sqrt b }}{3}\].

-Tương tự, ta có: \[\sqrt {\frac{{b + 2c}}{3}}  \ge \frac{{\sqrt b  + 2\sqrt c }}{3};\sqrt {\frac{{c + 2a}}{3}}  \ge \frac{{\sqrt c  + 2\sqrt a }}{3}\].

-Cộng vế với vế suy ra đpcm.