Cho $a,b,c\geq 0$, chứng minh $\sqrt{\frac{a+2b}{3}}+\sqrt{\frac{b+2c}{3}}+\sqrt{\frac{c+2a}{3}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$
Chứng minh $\sum \sqrt{\frac{a+2b}{3}}\geq \sum \sqrt{a}$
#1
Đã gửi 07-07-2015 - 16:37
#2
Đã gửi 07-07-2015 - 18:01
Áp dụng BĐT: $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+m^2}+\sqrt{y^2+n^2}\geq \sqrt{(a+x+y)^2+(b+m+n)^2}$
Ta có: $\sum \sqrt{a+2b}\geq \sqrt{(\sum \sqrt{a})^2+2(\sum\sqrt{a})^2}=\sqrt{3}\sum \sqrt{a}$
$\Rightarrow đpcm$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lam Ba Thinh: 07-07-2015 - 18:05
- nguyenhongsonk612, Nguyen Huy Hoang, eminemdech và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 07-07-2015 - 22:38
Cho $a,b,c\geq 0$, chứng minh $\sqrt{\frac{a+2b}{3}}+\sqrt{\frac{b+2c}{3}}+\sqrt{\frac{c+2a}{3}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$
-Ta có: \[\frac{{a + b + b}}{3} \ge \frac{{{{(\sqrt a + \sqrt b + \sqrt b )}^2}}}{9} = > \sqrt {\frac{{a + 2b}}{3}} \ge \frac{{\sqrt a + 2\sqrt b }}{3}\].
-Tương tự, ta có: \[\sqrt {\frac{{b + 2c}}{3}} \ge \frac{{\sqrt b + 2\sqrt c }}{3};\sqrt {\frac{{c + 2a}}{3}} \ge \frac{{\sqrt c + 2\sqrt a }}{3}\].
-Cộng vế với vế suy ra đpcm.
- Thu Huyen 21 và eminemdech thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh