Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$f: R\rightarrow R: f(x^2+f(y))= xf(x)+ y$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 Bichess

Bichess

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết

Đã gửi 08-07-2015 - 17:54

(1) $f: R\rightarrow R: f(x^2+f(y))= xf(x)+ y$
(2) $f: R\rightarrow R: f(xy+f(x))=xf(y)+f(x) \forall x,y \in R$
(3) $f: R\rightarrow R:f(x+f(y))= f^2(y)+2xf(y)+f(-x) \forall x,y\in R$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bichess: 09-07-2015 - 22:51


#2 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 08-07-2015 - 20:40

(1) $f: R\rightarrow R: f(x^2+f(y))= xf(x)+ y$

Lời giải. Giả sử $P(x;y)$ có tính chất $f(x^2+f(y))=xf(x)+y$.
$P(0;y) \Rightarrow f(f(y))=y.$ Ta suy ra $f$ là song ánh.
Do đó tồn tại $k \in \mathbb{R}$ thoả mãn $f(k)=0$. Khi đó $f(0)=f(f(k))=k$. Ta có $P(k;0) \Rightarrow f(k^2+k)=0=f(k)$. Vì $f$ là song ánh nên $k^2+k=k$ hay $k=0$. Vậy $f(0)=0$.
$P(x,0) \Rightarrow f(x^2)=xf(x)$.
$P(f(x),y) \Rightarrow f \left( f^2(x)+f(y) \right) = f(x)f(f(x))+y=xf(x)+y$.
Do đó $f\left( f^2(x)+f(y) \right)= f(x^2+f(y)) \Rightarrow f^2(x)=x^2$.
Vậy $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x$.
Ta chứng minh không đồng thời tồn tại $a,b \ne 0$ thoả mãn $f(a)=a,f(b)=-b$. Giả sử tồn tại $a,b$ như trên thì $f(a^2-b)=a^2+b$ suy ra $(a^2-b)^2=(a^2+b)^2$ hay $a^2b=0$, mâu thuẫn.
Vậy $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x \; \forall x \in \mathbb{R}$.
Thử lại thấy hai hàm thoả mãn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 09-07-2015 - 09:48

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#3 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 09-07-2015 - 14:43

(3) $f: R\rightarrow R:f(x+f(y))= f^2(y)+2xf(y)+f(-x) \forall x,y\in R$

Lời giải. Cố định $y$, phương trình tương đướng với $2xf(y)+f^2(y)=f(x+f(y))-f(-x)=g(x)$. Để ý rằng $g(x)$ là phương trình bậc nhất biến $x$ nên $g(x)$ là toàn ánh trên $\mathbb{R}$. Do đó $f(u)-f(v)$ với $u,v \in \mathbb{R}$ sẽ nhận giá trị trên toàn $\mathbb{R}$.

Giả sử $P(x;y)$ là tính chất của $f(x+f(y))=f^2(y)+2xf(y)+f(-x), \; \forall x,y \in \mathbb{R}$.

$P(0,y) \Rightarrow f(f(y))=f^2(y)+f(0)$.

$P(-f(x),y) \Rightarrow f(f(y)-f(x))=f^2(y)-2f(x)f(y)+f(f(x))= \left[ f(y)-f(x) \right]^2+f(0), \; \forall x,y \in \mathbb{R}$.

Vì miền giá trị của hàm $f(y)-f(x)$ với $x,y \in \mathbb{R}$ là toàn $\mathbb{R}$ nên $f(x)=x^2+f(0)$.

Thử lại thấy thoả mãn.

Vậy $f(x)=x^2+t, \; \forall x \in \mathbb{R}$.

 

Ps: Bài 2 bạn bỏ thừa dấu ngoặc ( ) nên mình không hiểu đề lắm.


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#4 Bichess

Bichess

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết

Đã gửi 09-07-2015 - 22:52

Lời giải. Cố định $y$, phương trình tương đướng với $2xf(y)+f^2(y)=f(x+f(y))-f(-x)=g(x)$. Để ý rằng $g(x)$ là phương trình bậc nhất biến $x$ nên $g(x)$ là toàn ánh trên $\mathbb{R}$. Do đó $f(u)-f(v)$ với $u,v \in \mathbb{R}$ sẽ nhận giá trị trên toàn $\mathbb{R}$.
Giả sử $P(x;y)$ là tính chất của $f(x+f(y))=f^2(y)+2xf(y)+f(-x), \; \forall x,y \in \mathbb{R}$.
$P(0,y) \Rightarrow f(f(y))=f^2(y)+f(0)$.
$P(-f(x),y) \Rightarrow f(f(y)-f(x))=f^2(y)-2f(x)f(y)+f(f(x))= \left[ f(y)-f(x) \right]^2+f(0), \; \forall x,y \in \mathbb{R}$.
Vì miền giá trị của hàm $f(y)-f(x)$ với $x,y \in \mathbb{R}$ là toàn $\mathbb{R}$ nên $f(x)=x^2+f(0)$.
Thử lại thấy thoả mãn.


Ps: Bài 2 bạn bỏ thừa dấu ngoặc ( ) nên mình không hiểu đề lắm.




Mình sửa rồi đó

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bichess: 09-07-2015 - 22:52


#5 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 09-07-2015 - 23:24

(2) $f: R\rightarrow R: f(xy+f(x))=xf(y)+f(x) \forall x,y \in R$

Lời giải. Giả sử $P(x;y)$ là tính chất của $f(xy+f(x))=xf(y)+f(x)$.

$P(x,0) \Rightarrow f(f(x))=xf(0)+f(x)$. Từ đây ta suy ra $f$ đơn ánh.

$P(0,y) \Rightarrow f(f(0))=f(0) \Rightarrow f(0)=0$.

Do đó $f(f(x))=xf(0)+f(x)=f(x) \Rightarrow f(x)=x$.

Vậy $f(x)=x, \; \forall x \in \mathbb{R}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 09-07-2015 - 23:26

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#6 Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 09-07-2015 - 23:35

Lời giải. Giả sử $P(x;y)$ là tính chất của $f(xy+f(x))=xf(y)+f(x)$.

$P(x,0) \Rightarrow f(f(x))=xf(0)+f(x)$. Từ đây ta suy ra $f$ đơn ánh.

$P(0,y) \Rightarrow f(f(0))=f(0) \Rightarrow f(0)=0$.

Do đó $f(f(x))=xf(0)+f(x)=f(x) \Rightarrow f(x)=x$.

Vậy $f(x)=x, \; \forall x \in \mathbb{R}$.

Hình như còn nghiệm $f(x)=0$ với mọi $x$


NgọaLong

#7 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 10-07-2015 - 09:42

Hình như còn nghiệm $f(x)=0$ với mọi $x$

Thật sự không biết cách nào để chèn nghiệm này vào lời giải.  :wacko:


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#8 Huy Thong

Huy Thong

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Du

Đã gửi 10-07-2015 - 11:17

Lời giải. Giả sử $P(x;y)$ là tính chất của $f(xy+f(x))=xf(y)+f(x)$.

$P(x,0) \Rightarrow f(f(x))=xf(0)+f(x)$. Từ đây ta suy ra $f$ đơn ánh.

$P(0,y) \Rightarrow f(f(0))=f(0) \Rightarrow f(0)=0$.

Do đó $f(f(x))=xf(0)+f(x)=f(x) \Rightarrow f(x)=x$.

Vậy $f(x)=x, \; \forall x \in \mathbb{R}$.

Chỗ này phải có $f(0) \neq 0$ thì $f$ mới đơn ánh.

 

Lời giải của mình

$f(xy+f(x))=xf(y)+f(x), \forall x,y \in \mathbb{R}\ \ \ \ \ (1)$

Cho $y=0$ trong $(1)$ ta có $f(f(x))=xf(0)+f(x)$

Nếu $f(0) \neq 0$ thì $f$ đơn ánh, từ đó có $f(0)=0,$ vô lý.

Do đó $f(0)=0$, suy ra $f(f(x))=f(x)$

Xét $x \neq 0$

Cho $x=f(x), y=x$ trong $(1)$ ta có $f(xf(x)+f(x))=f^2(x)+f(x)$

Cho $y=f(x)$ trong $(1)$ ta có $f(xf(x)+f(x))=xf(x)+f(x)$

Suy ra $f(x)\left [ f(x)-x \right ]=0$

Giả sử tồn tại $a,b \neq 0$ sao cho $f(a)=0, f(b)=b.$

Cho $x=b, y=a$ trong $(1)$ ta có $f(ab+b)=b$

Vì $f(x)\left [ f(x)-x \right ]=0$ và $b \neq 0$ nên $ab+b=b$, vô lý vì $a,b \neq 0$

Do đó $f(x)\equiv 0$ hoặc $f(x) \equiv x$ với mọi $x\neq 0.$

Kết hợp với $f(0)=0$ ta có $f(x)\equiv 0$ và $f(x) \equiv x$ với mọi $x \in \mathbb{R}.$

Thử lại ta thấy các hàm trên đều thỏa đề.



#9 tunglamlqddb

tunglamlqddb

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 144 Bài viết

Đã gửi 10-07-2015 - 23:04

Chỗ này phải có $f(0) \neq 0$ thì $f$ mới đơn ánh.
 
Lời giải của mình
$f(xy+f(x))=xf(y)+f(x), \forall x,y \in \mathbb{R}\ \ \ \ \ (1)$
Cho $y=0$ trong $(1)$ ta có $f(f(x))=xf(0)+f(x)$
Nếu $f(0) \neq 0$ thì $f$ đơn ánh, từ đó có $f(0)=0,$ vô lý.
Do đó $f(0)=0$, suy ra $f(f(x))=f(x)$
Xét $x \neq 0$
Cho $x=f(x), y=x$ trong $(1)$ ta có $f(xf(x)+f(x))=f^2(x)+f(x)$
Cho $y=f(x)$ trong $(1)$ ta có $f(xf(x)+f(x))=xf(x)+f(x)$
Suy ra $f(x)\left [ f(x)-x \right ]=0$
Giả sử tồn tại $a,b \neq 0$ sao cho $f(a)=0, f(b)=b.$
Cho $x=b, y=a$ trong $(1)$ ta có $f(ab+b)=b$
Vì $f(x)\left [ f(x)-x \right ]=0$ và $b \neq 0$ nên $ab+b=b$, vô lý vì $a,b \neq 0$
Do đó $f(x)\equiv 0$ hoặc $f(x) \equiv x$ với mọi $x\neq 0.$
Kết hợp với $f(0)=0$ ta có $f(x)\equiv 0$ và $f(x) \equiv x$ với mọi $x \in \mathbb{R}.$
Thử lại ta thấy các hàm trên đều thỏa đề.


Mình tưởng toàn ánh thì mới đc đặt x=f(x)?

#10 Huy Thong

Huy Thong

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Du

Đã gửi 11-07-2015 - 11:54

Mình tưởng toàn ánh thì mới đc đặt x=f(x)?

Toàn ánh thì được thay $f(x)$ bởi $x$ còn thay $x$ bởi $f(x)$ được là vì tập xác định của $f$ là $\mathbb{R}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Huy Thong: 11-07-2015 - 11:56





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh