Chủ đề này có 3 trả lời

[eminemdech]

Cho $\left\{\begin{matrix}x^2+xy+y^2=16 & & \\ y^2+yz+z^2=3 & & \end{matrix}\right.$.Chứng minh $xy+yz+xz\leq 8$

[phamquanglam]

Cho $\left\{\begin{matrix}x^2+xy+y^2=16 & & \\ y^2+yz+z^2=3 & & \end{matrix}\right.$.Chứng minh $xy+yz+xz\leq 8$

Ta có: $16=x^{2}+xy+y^{2}=(y+\frac{x}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2}x)^{2}\geq 2(y+\frac{x}{2})\frac{\sqrt{3}}{2}x=\sqrt{3}xy+\frac{\sqrt{3}}{2}x^{2}$

CMTT: $3\geq \sqrt{3}yz+\frac{\sqrt{3}}{2}z^{2}$

Cộng 2 vế vào: $19 \geq \sqrt{3}(xy+yz)+2\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}(xz)^{2}}= \sqrt{3}(xy+yz+zx)$

không đúng lắm! mọi người xem sai chỗ nào. tớ viết hướng thì thấy ntnay.........cảm ơn nha!             

[hoanglong2k]

Cho $\left\{\begin{matrix}x^2+xy+y^2=16 & & \\ y^2+yz+z^2=3 & & \end{matrix}\right.$.Chứng minh $xy+yz+xz\leq 8$

 Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có :

$$48=(x^2+xy+y^2)(y^2+yz+z^2)=\left [ \left ( \frac{x}{2}+y \right )^2+\frac{3x^2}{4} \right ]\left [ \frac{3z^2}{4}+\left ( y+\frac{z}{2} \right )^2 \right ]$$

$$\geq \frac{3}{4}.(xy+yz+zx)^2\Rightarrow xy+yz+zx\leq 8$$

[Quoc Tuan Qbdh]

Ta có: $16=x^{2}+xy+y^{2}=(y+\frac{x}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2}x)^{2}\geq 2(y+\frac{x}{2})\frac{\sqrt{3}}{2}x=\sqrt{3}xy+\frac{\sqrt{3}}{2}x^{2}$

CMTT: $3\geq \sqrt{3}yz+\frac{\sqrt{3}}{2}z^{2}$

Cộng 2 vế vào: $19 \geq \sqrt{3}(xy+yz)+2\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}(xz)^{2}}= \sqrt{3}(xy+yz+zx)$

không đúng lắm! mọi người xem sai chỗ nào. tớ viết hướng thì thấy ntnay.........cảm ơn nha!             

Không có dấu $"="$ rồi bạn ạ