Chủ đề này có 4 trả lời

[quan1234]

Cho các số dương thỏa mãn x+y+z=1.CMR $\sqrt{2x^2+xy+2y^2}+\sqrt{2y^2+yz+2z^2}+\sqrt{2z^2+xz+2x^2}\geq\sqrt{5}$

[Nguyen Huy Hoang]

Áp dụng BĐT 

$\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2}+\sqrt{c^2+z^2} \geq \sqrt{(a+b+c)^2+(x+y+z)^2}$

 

Ta có:

$VT = \sum{\sqrt{2x^2+xy+2y^2}}$

$=\sum{\sqrt{(\sqrt{2}x+\frac{y}{2\sqrt2})^2+(\frac{y\sqrt{15}}{2\sqrt2})^2}}$

$\geq \sqrt{\left [(x+y+z)\sqrt2+(x+y+z)\frac{1}{2\sqrt2}\right]^2+\left[(x+y+z)\frac{\sqrt{15}}{2\sqrt2}\right]^2}=\sqrt5$

 

Đẳng thức xảy ra <=> $x=y=z=\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Huy Hoang: 08-07-2015 - 23:21

[Phung Quang Minh]

Cho các số dương thỏa mãn x+y+z=1.CMR $\sqrt{2x^2+xy+2y^2}+\sqrt{2y^2+yz+2z^2}+\sqrt{2z^2+xz+2x^2}\geq\sqrt{5}$

-Ta có: \[2{x^2} + xy + 2{y^2} = \frac{{{{(x + y)}^2}}}{2} + \frac{{3({x^2} + {y^2})}}{2} \ge \frac{{{{(x + y)}^2}}}{2} + \frac{{3{{(x + y)}^2}}}{4} = \frac{{5{{(x + y)}^2}}}{4}\]

\[ =  > \sqrt {2{x^2} + xy + 2{y^2}}  \ge \frac{{\sqrt 5 .(x + y)}}{2}\].

-Tương tự, ta có: \[\sqrt {2{y^2} + yz + 2{z^2}}  \ge \frac{{\sqrt 5 .(y + z)}}{2}\]; \[\sqrt {2{z^2} + zx + 2{x^2}}  \ge \frac{{\sqrt 5 .(z + x)}}{2}\].

-Cộng vế với vế và x+y+z=1 => đpcm.

[Dinh Xuan Hung]

Cho các số dương thỏa mãn x+y+z=1.CMR $\sqrt{2x^2+xy+2y^2}+\sqrt{2y^2+yz+2z^2}+\sqrt{2z^2+xz+2x^2}\geq\sqrt{5}$

Cách khác:

$\sqrt{2x^2+xy+2y^2}=\sqrt{2(x+y)^2-3xy}\geq \sqrt{2(x+y)^2-\frac{3(x+y)^2}{4}}=\sqrt{\frac{5(x+y)^2}{4}}=\frac{\sqrt{5}(x+y)}{2}$

CMTT:$\sqrt{2y^2+yz+2z^2}\geq \frac{\sqrt{5}(y+z)}{2}$

$\sqrt{2z^2+xz+2x^2}\geq \frac{\sqrt{5}(x+z)}{2}$

$\Rightarrow \sum \sqrt{2x^2+xy+2y^2}\geq \frac{\sqrt{5}}{2}(2(x+y+z))=\sqrt{5}(x+y+z)=\sqrt{5}$

[quan1234]

$4(2x^2+xy+2y^2)=5(x+y)^2+3(x-y)^2\geq 5(x+y)^2 \Rightarrow \sqrt{2x^2+xy+2y^2}\geq \frac{\sqrt{5}(x+y)}{2}$

Tương tự với các phần còn lại, ta được điều phải chứng minh