Chủ đề này có 4 trả lời

[Dinh Xuan Hung]

1)Cho $a,b,c\geq 0$.Chứng minh rằng:$3(a+b+c)\geq \sum \sqrt{a^2+8bc}$

2)Cho $a,b,c,d>0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+d^2=4$.Chứng minh:$\frac{1}{3-abc}+\frac{1}{3-bcd}+\frac{1}{3-cda}+\frac{1}{3-dab}\leq 2$

3)Cho $a_1;a_2;...;a_n$ thỏa mãn $a_1+a_2+...+a_n=1$.Chứng minh rằng với mọi số nguyên $k\geq 1$ ta có:$\frac{a_1^k}{1-a_1}+\frac{a_2^k}{1-a_2}+...+\frac{a_n^k}{1-a_n}\geq \frac{a_1^k+a_2^k+...+a_n^k}{n-1}$

 

P/s:Phải sử dụng BĐT Chebyshev

[Dinh Xuan Hung]

1)Cho $a,b,c\geq 0$.Chứng minh rằng:$3(a+b+c)\geq \sum \sqrt{a^2+8bc}$

 

 

P/s:Phải sử dụng BĐT Chebyshev

Mình không thể nghĩ ra cách dùng $Chebyshev$ chỉ có cách là dùng $C-S$ thôi 

$\left ( \sum \sqrt{a^2+8bc} \right )^2\leq 3(a^2+b^2+c^2+8ab+8ac+8bc)=3((a+b+c)^2+\sum 6ab)\leq 3[(a+b+c)^2+6.\frac{(a+b+c)^2}{3}]=9(a+b+c)^2\Rightarrow \sum \sqrt{a^2+8bc}\leq 3(a+b+c)$

P/s:Ai có cách dùng $Chebyshev$ không?

[the man]

1)Cho $a,b,c\geq 0$.Chứng minh rằng:$3(a+b+c)\geq \sum \sqrt{a^2+8bc}$

P/s:Phải sử dụng BĐT Chebyshev

Chứng minh:

$\sum (3a-\sqrt{a^2+8bc})\geq 0\Leftrightarrow \sum (a^2-bc)(b+c).\frac{1}{(3a+\sqrt{a^2+8bc})(b+c)}\geq 0$

Để ý rằng:  $(a^2-bc)(b+c)+(b^2-ca)(c+a)+(c^2-ab)(a+b)=0$  (1)

Giả sử $a \geq b \geq c$ ta dễ dàng giải quyết được bài toán theo cách dùng Chebyshev

Chú ý: đẳng thức (1) được sử dụng trong khá nhiều bài bất đẳng thức 

[Hoang Nhat Tuan]

Câu 3:

Giả sử $a_1\geq a_2\geq ...\geq a_n$

Như vậy thì:$\frac{1}{1-a_1}\geq \frac{1}{1-a_2}\geq ...\geq \frac{1}{1-a_n}$

Khi đó áp dụng BĐT Chebyshev ta được:

$\sum \frac{a_1^k}{1-a_1}\geq \frac{1}{n}.(\sum a_1^k)(\sum \frac{1}{1-a_1})\geq \frac{1}{n}.(\sum a_1^k)(\frac{n^2}{n-1})$

=> ĐPCM

[Lam Ba Thinh]

Câu 3:

Giả sử $a_1\geq a_2\geq ...\geq a_n$

Như vậy thì:$\frac{1}{1-a_1}\geq \frac{1}{1-a_2}\geq ...\geq \frac{1}{1-a_n}$

Khi đó áp dụng BĐT Chebyshev ta được:

$\sum \frac{a_1^k}{1-a_1}\geq \frac{1}{n}.(\sum a_1^k)(\sum \frac{1}{1-a_1})\geq \frac{1}{n}.(\sum a_1^k)(\frac{n^2}{n-1})$

=> ĐPCM

Đề bài không cho $a_1,a_2,...,a_n\geq0$ (có thể nhỏ hơn 0 hay ,..) vậy liệu khi mũ k thì $a_1^k\geq a_2^k\geq ...\geq a_n^k$ có đúng không?