Chủ đề này có 4 trả lời

[Min Nq]

Cho $x,y\geq 1$

 Chứng minh: $\frac{x^{2}}{y-1} + \frac{y^{2}}{x-1}\geq 8$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 09-07-2015 - 16:16

[Quoc Tuan Qbdh]

 

Cho x,y\geq 1

 CM: \frac{x^{2}}{y-1} + \frac{y^{2}}{x-1}\geq 8

 

 

Bạn kẹp cái phần Latex giữa 2 dấu $ đi     

Dễ dàng chứng minh được theo biến đổi tương đương $a^{2} \geq 4a-4$ với mọi $a$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy :

$\frac{x^{2}}{y-1} + \frac{y^{2}}{x-1} \geq 2\sqrt{\frac{x^{2}y^{2}}{(x-1)(y-1)}} \geq 2\sqrt{\frac{16(x-1)(y-1)}{(x-1)(y-1)}}=8$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 09-07-2015 - 16:28

[Hoang Nhat Tuan]

 

Cho $x,y\geq 1$

 Chứng minh: $\frac{x^{2}}{y-1} + \frac{y^{2}}{x-1}\geq 8$

 

Hoặc sử dụng Cauchy-schwarz:

$\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\geq \frac{(x+y)^2}{x+y-2}\geq 8$

Đặt $x+y=t$ thì BĐT trở thành cần chứng minh:

$\frac{t^2}{t-2}\geq 8<=>(t-4)^2\geq 0$ (hiển nhiên)

[Phung Quang Minh]

 

Cho $x,y\geq 1$

 Chứng minh: $\frac{x^{2}}{y-1} + \frac{y^{2}}{x-1}\geq 8$

 

-Ta có: \[\frac{{{x^2}}}{{y - 1}} + 4(y - 1) \ge 4x =  > \frac{{{x^2}}}{{y - 1}} \ge 4(x - y) + 4\].

-Tương tự, ta có: \[\frac{{{y^2}}}{{x - 1}} \ge 4(y - x) + 4\].

-Cộng vế với vế suy ra đpcm.

[Hoangtheson2611]

$\sum \frac{x^{2}}{(y-1).1}\geqslant  \sum \frac{4x^{2}}{(y-1+1)^{2}}\geqslant 2\sqrt{\frac{16x^{2}.y^{2}}{x^{2}.y^{2}}}=8$

Dấu "=" xảy ra khi x=y=2