Cho tập $X$ có $n$ phần tử phân biệt, hai tập $A_{1}; A_{2}$ là hai tập con bất kì của $X$. Ta tính số phần tử của $A_{1}\cap A_{2}$, chứng minh tổng tất cả các số nhận được bằng $n.4^{n-1}$
P/s: Bạn nào có tài liệu gì hay về dạng này cho mình tham khảo nhé. Thanks.
Lời giải :
Vì $X$ có $n$ phần tử nên nó có $2^n$ tập con. Vì vậy có tất cả $(2^n)^2=4^n$ cặp tập con
Ta chia tất cả các cặp tập con thành bộ 4 :
Mỗi cặp $(A,B)$ sinh ra bộ bốn : $[(A,B),(\bar{A},B),(\bar{A},B),(\bar{A},\bar{B})]$
Mỗi cặp $(\bar{A},B)$ sinh ra bộ bốn : $[(\bar{A},B),(\bar{\bar{A}},B),(\bar{A},\bar{B}),(\bar{\bar{A}},\bar{B})]=[(A,B),(\bar{A},B),(\bar{A},B),(\bar{A},\bar{B})]$
Mỗi cặp $(A,\bar{B})$ sinh ra bộ bốn : $[(A,\bar{B}),(\bar{A},\bar{B}),(A,\bar{\bar{B}}),(\bar{A},\bar{\bar{B}})]=[(A,B),(\bar{A},B),(\bar{A},B),(\bar{A},\bar{B})]$
Mỗi cặp $(\bar{A},\bar{B})$ sinh ra bộ bốn : $[(\bar{A},\bar{B}),(\bar{\bar{A}},\bar{B}),(\bar{A},\bar{\bar{B}}),(\bar{\bar{A}},\bar{\bar{B}})]=[(A,B),(\bar{A},B),(\bar{A},B),(\bar{A},\bar{B})]$
Tất cả đều trùng nhau, nên mỗi cặp tập con của $X$ chỉ tham gia 1 bộ $4$. Vậy có $4^{n-1}$ bộ bốn khác nhau
Vì mỗi phần tử của $X$ chỉ thuộc $A$ hoặc $\bar{A}$. Vì vậy phần tử đó sẽ thuộc ít nhất $1$ trong $4$ tập hợp $A\cap B , \bar{A}\cap B,A\cap \bar{B},\bar{A}\cap \bar{B}$ $(1)$
Vì vậy số phần tử của tất cả các tập thuộc bố bốn tùy ý ở $(1)$ là $n$
Mà có $4^{n-1}$ bộ bốn khác nhau (cmt) nên sẽ có $4^{n-1}$ bộ bốn $(1)$
Vậy tổng số phần tử của tất cả các tập $A_1\cap A_2$ là $n.4^{n-1}$ $\square$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Belphegor Varia: 10-07-2015 - 16:42