Chủ đề này có 5 trả lời

[Nguyen Giap Phuong Duy]

Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho $2^n-1$ chia hết cho $3$ và $\frac{2^n-1}{3}$ là ước của một số nguyên có dạng $4m^2+1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Giap Phuong Duy: 12-07-2015 - 23:11

[congdaoduy9a]

$(2^{n}-1)\vdots 3\Rightarrow n$ chẵn .Vì nếu n lẻ $2^{2k+1}-1=4^{k}.2-1\equiv 1(mod3)$

$4m^2-1=(2m-1)(2m+1)$. Với mọi n chẵn ta luôn tìm được ít nhất 1 giá trị m sao cho $\frac{2^n-1}{3}$ là ước của $4m^2-1$

[Nguyen Giap Phuong Duy]

$(2^{n}-1)\vdots 3\Rightarrow n$ chẵn .Vì nếu n lẻ $2^{2k+1}-1=4^{k}.2-1\equiv 1(mod3)$

$4m^2-1=(2m-1)(2m+1)$. Với mọi n chẵn ta luôn tìm được ít nhất 1 giá trị m sao cho $\frac{2^n-1}{3}$ là ước của $4m^2-1$

bạn nói rõ hơn được không

[congdaoduy9a]

Cụ thể là trừ trường hợp n=2 có vô số giá trị m còn lại luôn có 2 giá trị m thỏa mãn 

Ta có : $\frac{2^{n}-1}{3}$ là số nguyên dương lẻ với n chẵn. Khi đó chọn m sao cho $\frac{2^{n}-1}{3}$ = $2m-1$ hoặc $\frac{2^{n}-1}{3}$ = $2m+1$

Vậy khi n chẵn thì ......

[Nguyen Giap Phuong Duy]

Cụ thể là trừ trường hợp n=2 có vô số giá trị m còn lại luôn có 2 giá trị m thỏa mãn 

Ta có : $\frac{2^{n}-1}{3}$ là số nguyên dương lẻ với n chẵn. Khi đó chọn m sao cho $\frac{2^{n}-1}{3}$ = $2m-1$ hoặc $\frac{2^{n}-1}{3}$ = $2m+1$

Vậy khi n chẵn thì ......

mình sửa lại rồi, mình đăng đề lộn

[Trung Gauss]

Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho $2^n-1$ chia hết cho $3$ và $\frac{2^n-1}{3}$ là ước của một số nguyên có dạng $4m^2+1$.

 

Bổ đề 1: Với mỗi số nguyên dạng $4k+3$ thì luôn tồn tại một ước nguyên tố $p\equiv 3\pmod{4}$.

Bổ đề 2: Nếu $p$ là số nguyên tố dạng $4k+3$ và tồn tại $x, y\in\mathbb{Z}$ thỏa $p\;|\; x^2+y^2$ thì $\begin{cases}p\;|\; x\\p\;|\; y\end{cases}$

 

Quay lại bài toán:

Ta có: $2\equiv -1\pmod{3} $ nên $2^n\equiv 1\pmod{3}\Leftrightarrow n $ chẵn. Giả sử: $n=2^k.h,\; h$ lẻ. ta sẽ CM $h=1$. Thật vậy, g/s $h>1$. Ta có: $$2^h-1\;|\; 2^n-1\;|\; 3.4m^2+3$$ Do xét $h $ lẻ nên ta xét với $2^h-1\;|\; 4m^2+1$. Do $2^h-1\equiv 3\pmod{4}$ nên theo bổ đề 1, tồn tại một ước nguyên tố của $2^h -1$ dạng $2^l-1$ Sử dụng bổ đề 2, ta có: $$\begin{cases}2^l-1\; |\; 4m^2\\2^l-1\;|\;1\end{cases}\Leftrightarrow l=1, \text{vô lý}$$ Do vậy $n=2^k, k\in\mathbb{N}$. Ta sẽ CM đây cũng chính là KQ cần tìm. Ta phân tích: $$2^{2^k}-1=(2^{2^0}+1)(2^{2^1}+1)(2^{2^2}+1)...(2^{2^{k-1}}+1)$$ Chú ý rằng $3\;|\; 2^n-1$ nên ta xét với $\prod_{i=1}^{k-1}(2^{2^i}+1)$ Xét hệ thặng dư: $$\begin{cases} x\equiv 2^{2^0-1}\pmod{2^{2^1}+1}\\x\equiv 2^{2^1-1}\pmod{2^{2^{2}}+1}\\...\\x\equiv 2^{2^{i-1}-1}\pmod{2^{2^i}+1}\\...\\x\equiv 2^{2^{k-2}-1}\pmod{2^{2^{k-1}}+1}\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}4x^2\equiv -1\pmod{2^{2^1}+1}\\4x^2\equiv -1 \pmod{2^{2^2}+1}\\...\\4x^2\equiv -1\pmod{2^{2^i}+1}\\...\\4x^2\equiv -1\pmod{2^{2^{k-1}}+1}\end{cases}$$. Chú ý rằng $\gcd(2^{2^i}+1; 2^{2^j}+1)=1, i\neq j$ nên theo định lý thặng dư Trung Hoa, hệ này có nghiệm duy nhất: $$4x^2\equiv -1\pmod{\prod_{i=1}^{k-1}(2^{2^i}+1)}\Leftrightarrow 4m^2+1\;\vdots \;\dfrac{2^n-1}{3}$$

Vậy: $n=2^k, k\in\mathbb{N}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trung Gauss: 20-07-2015 - 19:58