Chủ đề này có 4 trả lời

[minhhien2001]

Cho a,b,c>0 sao cho abc=1. Đặt P=$\sqrt{\frac{2}{a+1}}+\sqrt{\frac{2}{b+1}}+\sqrt{\frac{2}{c+1}}$.Chứng minh P$\leqslant 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 13-07-2015 - 16:43
Lặp

[vda2000]

Cho a,b,c>0 sao cho abc=1. Đặt P=Cho a,b,c>0 sao cho abc=1. Đặt P=$\sqrt{\frac{2}{a+1}}+\sqrt{\frac{2}{b+1}}+\sqrt{\frac{2}{c+1}}$.Chứng minh P$\leqslant 3$.Chứng minh P$\leqslant 3$

Đặt: $(a;b;c)=(x^2;y^2;z^2)$ với đk sao cho: $x;y;z>0$

Từ gt suy ra: $x^2y^2z^2=1$ nên: $xyz=1$

Ta sẽ chứng minh $P\leq 3$ tương đương với:

$\sum\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\leq\frac{3}{\sqrt{2}}$

Ta có: $xyz=1$ giả sử: $z$ là số lớn nhất trong: $xy$ Suy ra được: $xy\leq 1$

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhia-cốp-xki, ta có: 

$(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{y^2+1}})^2\leq (1^2+1^2).(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1})\leq 2.\frac{2}{1+xy}$ (vì $xy\leq 1$ nên có bđt)

Do đó, $\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{y^2+1}}\leq\frac{2}{\sqrt{1+xy}}=\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{z}}}$

Đến đây dưa về bất đẳng thức $1$ biến $z$ và biến đổi tương đương là xong

[minhhien2001]

mọi người đặt a=x/y rồi b=y/z ;c=z/x giải đươc ko chỉ với

[minhhien2001]

Đặt: $(a;b;c)=(x^2;y^2;z^2)$ với đk sao cho: $x;y;z>0$

Từ gt suy ra: $x^2y^2z^2=1$ nên: $xyz=1$

Ta sẽ chứng minh $P\leq 3$ tương đương với:

$\sum\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\leq\frac{3}{\sqrt{2}}$

Ta có: $xyz=1$ giả sử: $z$ là số lớn nhất trong: $xy$ Suy ra được: $xy\leq 1$

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhia-cốp-xki, ta có: 

$(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{y^2+1}})^2\leq (1^2+1^2).(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1})\leq 2.\frac{2}{1+xy}$ (vì $xy\leq 1$ nên có bđt)

Do đó, $\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{y^2+1}}\leq\frac{2}{\sqrt{1+xy}}=\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{z}}}$

Đến đây dưa về bất đẳng thức $1$ biến $z$ và biến đổi tương đương là xong

anh chỉ kĩ hơn dc koem chỉ chừng minh dc nó nhỏ hơn$\sqrt{10}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhien2001: 12-07-2015 - 17:28

[vda2000]

anh chỉ kĩ hơn dc koem chỉ chừng minh dc nó nhỏ hơn$\sqrt{10}$

Tiếp thế này,

Suy ra: $\sum\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\leq\frac{2}{\sqrt{\frac{z+1}{z}}}+\frac{1}{\sqrt{z^2+1}}=\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{z+1}}+\frac{1}{\sqrt{z^2+1}}$

Áp dụng Bunhiacopxki: $2(z^2+1)\geq (z+1)^2$ nên: $\sqrt{2(z^2+1)}\geq z+1$

Do đó, $\sum\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\leq\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{z+1}}+\frac{\sqrt{2}}{z+1}$

Cần chứng minh: $\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{z+1}}+\frac{\sqrt{2}}{z+1}\leq\frac{3}{\sqrt{2}}$

Quy đồng bằng cách nhân $\sqrt{2}(z+1)$ vào cả $2$ vế rút gọn đi sẽ được bất đẳng thức tương đương:

$2\sqrt{2z^2+2z}\leq 3z+1$

$\Leftrightarrow 8z^2+8z\leq 9z^2+6z+1$

$\Leftrightarrow z^2-2z+1\geq 0$

Được chưa :3