Chủ đề này có 7 trả lời

[ZzNightWalkerZz]

Chứng minh rằng với các số $a_i(i=1,2,...,n)$ không là số chính phương thì 

$\sum \sqrt{a_i} \notin Q$

 

P/s : Nếu thánh nào có khả năng chém chuối bá đạo thì xin mời bài tiếp

Với các số $a_i(i=1,2,...,n)$ không có dạng $n^m(m,n\in N)$ thì

$\sum \sqrt[m]{a_i} \notin Q$

 

[Nxb]

Em làm bai này thê´ nào. Anh phải dung ly´ thuyết galois mơi´ ra.

[ZzNightWalkerZz]

Em làm bai này thê´ nào. Anh phải dung ly´ thuyết galois mơi´ ra.

Thực sự em còn chưa biết lí thuyết galois đầy đủ như thế nào nhưng bài này không mạnh đến thế đâu ạ

[Nxb]

Thực sự em còn chưa biết lí thuyết galois đầy đủ như thế nào nhưng bài này không mạnh đến thế đâu ạ

Lý thuyết Galois toàn làm về mấy cái này mà. Em post cách chứng minh lên được không. Anh hơi tò mò.

[ZzNightWalkerZz]

Spoiler

Lý thuyết Galois toàn làm về mấy cái này mà. Em post cách chứng minh lên được không. Anh hơi tò mò.

Chưa được anh   vì anh đã làm được bài trên nên anh thử nghĩ một bài tổng quát hơn nhé (Em chưa làm được theo cách ban đầu  )
Điều kiện thì gần như  trên các số $a_i,b_e$ không là số chính phương ($i=1,2,..,n;e=1,2,...,m;m>n$)
Cm : $\sum \sqrt{a_i} - \sum \sqrt{b_e}\notin Q$
Nếu anh làm được bằng lí thuyết $Galois$ thì up lời giải nhé

Spoiler

Cách của em là đưa về giới hạn

[Nxb]

Chưa được anh   vì anh đã làm được bài trên nên anh thử nghĩ một bài tổng quát hơn nhé (Em chưa làm được theo cách ban đầu  )
Điều kiện thì gần như  trên các số $a_i,b_e$ không là số chính phương ($i=1,2,..,n;e=1,2,...,m;m>n$)
Cm : $\sum \sqrt{a_i} - \sum \sqrt{b_e}\notin Q$
Nếu anh làm được bằng lí thuyết $Galois$ thì up lời giải nhé

Spoiler

Cách của em là đưa về giới hạn

Cái tổng quát kia không đúng đâu nhé. Ví dụ $\sqrt{3}-\sqrt{3}=0$, nhưng nếu cho thêm điều kiện khác 0 thì đề bài đúng. Nếu mà dùng lí thuyết Galois thì người ta còn chứng minh được một điều mạnh hơn nhiều là $\sum \sqrt{a_i}$ cùng với $\mathbb{Q}$ sinh ra tất cả các số $\sqrt{a_i}$. Chứng minh bằng lí thuyết Galois thì đơn giản lắm, nhưng cần phát biểu lại cho bản chất hơn tí: Cho $\alpha_{i}$ là các nghiệm của đa thức bất khả quy $x^2-a_i=0$ với $a_i \in \mathbb{R}$(không cần thiết phải không chính phương mà chỉ cần $a_i$ không là bình phương của một số hữu tỉ) và $\alpha=\sum \alpha_{i}$ khác 0 thì $\alpha \notin \mathbb{Q}$. Ta có thể giả sử rằng không có tổng con nào của tổng trên bằng 0 (bằng cách bỏ hết nó đi trong trường hợp nó tồn tại), ta có $\prod (x^2-a_i)$ là tách được nên ta có nhóm Galois G của đa thức này. Mỗi phần tử nhóm G được xác định hoàn toàn bởi các $\alpha_i$ (do trường phân rã của đa thức trên là $\mathbb{Q}(\alpha_1,...,\alpha_r)$), vì mỗi phần tử này giao hoán các nghiệm của đa thức $x^2-a_i$, một phần tử không tầm thường sẽ giao hoán một số nào đó $\alpha_i$ với $-\alpha_i$. Những phần tử như vậy không thể giữ nguyên $\alpha$ được vì nếu không sẽ có một tổng con nào đó bằng 0. Như vậy phần tử duy nhất giữ nguyên $\alpha$ là trung hòa của G, do đó $\mathbb{Q}(\alpha)$ là tương ứng với 1 trong G, tức là $\mathbb{Q}(\alpha)=\mathbb{Q}(\alpha_i)$, nói riêng thì $\alpha$ không thuộc $\mathbb{Q}$ được vì các $\alpha_i$ không thuộc $\mathbb{Q}$. Viết thì dài thế nhưng mà ý tưởng cơ bản là xem khi giao hoán $\alpha_i$ với $-\alpha_i$ thì $\alpha$ có thay đổi không.    

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 12-07-2015 - 19:03

[ZzNightWalkerZz]

Cái tổng quát kia không đúng đâu nhé. Ví dụ $\sqrt{3}-\sqrt{3}=0$, nhưng nếu cho thêm điều kiện khác 0 thì đề bài đúng. Nếu mà dùng lí thuyết Galois thì người ta còn chứng minh được một điều mạnh hơn nhiều là $\sum \sqrt{a_i}$ cùng với $\mathbb{Q}$ sinh ra tất cả các số $\sqrt{a_i}$. Chứng minh bằng lí thuyết Galois thì đơn giản lắm, nhưng cần phát biểu lại cho bản chất hơn tí: Cho $\alpha_{i}$ là các nghiệm của đa thức bất khả quy $x^2-a_i=0$ với $a_i \in \mathbb{R}$(không cần thiết phải không chính phương mà chỉ cần $a_i$ không là bình phương của một số hữu tỉ) và $\alpha=\sum \alpha_{i}$ khác 0 thì $\alpha \notin \mathbb{Q}$. Ta có thể giả sử rằng không có tổng con nào của tổng trên bằng 0 (bằng cách bỏ hết nó đi trong trường hợp nó tồn tại), ta có $\prod (x^2-a_i)$ là tách được nên ta có nhóm Galois G của đa thức này. Mỗi phần tử nhóm G được xác định hoàn toàn bởi các $\alpha_i$ (do trường phân rã của đa thức trên là $\mathbb{Q}(\alpha_1,...,\alpha_r)$), vì mỗi phần tử này giao hoán các nghiệm của đa thức $x^2-a_i$, một phần tử không tầm thường sẽ giao hoán một số nào đó $\alpha_i$ với $-\alpha_i$. Những phần tử như vậy không thể giữ nguyên $\alpha$ được vì nếu không sẽ có một tổng con nào đó bằng 0. Như vậy phần tử duy nhất giữ nguyên $\alpha$ là trung hòa của G, do đó $\mathbb{Q}(\alpha)$ là tương ứng với 1 trong G, tức là $\mathbb{Q}(\alpha)=\mathbb{Q}(\alpha_i)$, nói riêng thì $\alpha$ không thuộc $\mathbb{Q}$ được vì các $\alpha_i$ không thuộc $\mathbb{Q}$. Viết thì dài thế nhưng mà ý tưởng cơ bản là xem khi giao hoán $\alpha_i$ với $-\alpha_i$ thì $\alpha$ có thay đổi không.    

Đúng là rất đơn giản nhưng tổng quát không sai nhé anh, anh xem lại là m>n nên giá trị trên luôn khác không anh ạ, mà nói chính phương ở đây chính là bình phương một số hữu tỉ (do em lười không muốn viết đầy đủ thôi ạ) 

Nếu như bài này chỉ có phép cộng thì cách đưa đến giới hạn khá hữu hiệu nhưng dài, có lẽ cái gì đã có thì thôi để đó vậy

P/s : Em phải đọc kĩ hơn về lí thuyết này

[Nxb]

Đúng là rất đơn giản nhưng tổng quát không sai nhé anh, anh xem lại là m>n nên giá trị trên luôn khác không anh ạ, mà nói chính phương ở đây chính là bình phương một số hữu tỉ (do em lười không muốn viết đầy đủ thôi ạ) 

Nếu như bài này chỉ có phép cộng thì cách đưa đến giới hạn khá hữu hiệu nhưng dài, có lẽ cái gì đã có thì thôi để đó vậy

P/s : Em phải đọc kĩ hơn về lí thuyết này

$\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{12}=0$. Nếu muốn học lí thuyết Galois thì trước tiên phải học một tí đại số tuyến tính, và nắm chắc lí thuyết nhóm đã. Nếu định học mà thắc mắc gì thì em có thể trao đổi trên box toán cao cấp .