Chủ đề này có 5 trả lời

[eminemdech]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :

a) $3(a+b+c)^2\leq (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)$

b) $(ab+bc+ca-1)^2\leq (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)$

[arsfanfc]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :

a) $3(a+b+c)^2\leq (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)$

 

Áp dụng BĐT Cauchy schawrz :

$(a+b+c)^2 \leq (a^2+2)(1+\frac{(b+c)^2}{2}$

Vậy cần chứng minh : $3[2+(b+c)]^2 \leq 2(b^2+2)(c^2+2)$

$\Leftrightarrow 2b^2c^2+b^2+c^2+2 \geq 6bc$ (áp dụng AM-GM thì BĐT đúng)

dấu "=" khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi arsfanfc: 10-07-2015 - 13:30

[vda2000]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :

b) $(ab+bc+ca-1)^2\leq (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)$

Khai triển hết ra, được kết quả tại đây.

Do đó ta cần phải chứng minh: $a^2 + 2 a b + b^2 + 2 a c + 2 b c - 2 a^2 b c - 2 a b^2 c + c^2 - 2 a b c^2 + a^2 b^2 c^2\geq 0$

Viết lại: $(a+b+c)^2+(abc)^2\geq 2abc(a+b+c)$ Luôn đúng theo $AM-GM$

[Hoangtheson2611]

Câu b : Bạn tham khảo bài 7 trang 15 của sách " Sử dụng phương pháp Cauchy-Schwarz"

Câu a : Bạn tham khảo bài 6 trang 14 của sách đấy luôn . 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoangtheson2611: 10-07-2015 - 13:59

[Nguyen Minh Hai]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :

a) $3(a+b+c)^2\leq (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)$

b) $(ab+bc+ca-1)^2\leq (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)$

b) Để ý ta có hằng đẳng thức:

$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)=(ab+bc+ca-1)^2+(a+b+c-abc)^2$

 

Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Dấu $"="$ xảy ra khi $a+b+c=abc$

Spoiler

Bài toán đúng với mọi số thực $a,b,c$

[Nguyen Minh Hai]

Câu b : Bạn tham khảo bài 7 trang 15 của sách " Sử dụng phương pháp Cauchy-Schwarz"

Câu a : Bạn tham khảo bài 6 trang 14 của sách đấy luôn . 

Bạn nên tôn trọng người hỏi bài chứ! Đâu phải ai cũng có cuốn sách đó! Nên đăng lời giải đầy đủ!