Đến nội dung


Hình ảnh

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TỔ HỢP THCS


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 143 trả lời

#1 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:A1K45 PBC
  • Sở thích:Magic Kaito,Holmes,Conan...

Đã gửi 10-07-2015 - 18:32

*
Phổ biến

           MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TỔ HỢP THCS

Trong chương trình Toán THCS chúng ta đã không còn xa lạ với các bài toán bất đẳng thức,phương trình nghiệm nguyên,phương trình vô tỉ.... rất hay và khó.Tuy vậy đa số chúng ta lại quên mất một dạng toán có tính thực tiễn hơn cả-Toán Tổ Hợp.Có thể nói trong đề thi chuyên Toán tại các trường THPT chuyên hiện nay,Toán Tổ Hợp đang xuất hiện với tần suất lớn.Do đó mình lập topic này không có ý gì khác ngoài giúp mình và các bạn bước đầu...biết làm Toán Tổ Hợp. :luoi:  :luoi: 

Chúng ta bắt đầu vào vấn đề chính :icon6:  :icon6: 

1)Phương pháp phản chứng

a)Lý thuyết:

1.(Phủ định kết luận)Giả sử có điều trái với kết luận của bài toán.

2.(Đưa đến mâu thuẫn)Từ điều giả sử trên và từ giả thuyết của bài toán, ta suy ra điều mâu thuẫn với giả thiết hay với các  kiến thức đã học.

3.(Khẳng định kết luận)Vậy kết luận của bài toán là đúng

*Ưu điểm của phương pháp này là tạo thêm được giả thiết mới (giả thiết phản chứng)vào các giả thiết của bài toán.Chẳng hạn để cm $A\geq B$ bằng phương pháp phản chứng,ta được sử dụng giả thiết phản chứng $A<B$ để chỉ ra điều vô lí.

b)Ví dụ:

Cho số nguyên dương $n>1$ thoả mãn $2^{n}+1$ là số nguyên tố.Chứng minh rằng $n=2^{k}$với $k$ là số nguyên dương

Lời giải:

Giả sử $n$ không là 1 luỹ thừa của 2  khi đó $n$ được biểu diễn dưới dạng $n=2^{k}t(t\epsilon N*)$ với $t$ lẻ

Ta có $2^{n}+1=2^{2^{k}t}+1=(2^{2^{k}})^{t}+1$

Đặt $a=2^{2^{k}}\Rightarrow 2^{n}+1=a^{t}+1$

Do $t$ lẻ nên $a^{t}+1\vdots (a+1)$

Mà $1< a+1< a^{t}+1\Rightarrow$  $a^{t}+1$ là hợp số (hay $2^{n}+1$ là hợp số trái với gt)

Vậy ta có đpcm

2.Sử dụng nguyên tắc cực hạn

a)Lý thuyết

*)Nguyên tắc:Trong một tập hợp hữu hạn khác rỗng các số thực luôn tồn tại một số bé nhất và một số lớn nhất.Ngoài ra còn có thể sắp xếp chúng theo một trật tự tăng dần hoặc giảm dần.

VD:Nếu $A$ là $1$ tập con khác rỗng của tập hợp số tự nhiên thì $A$ luôn có phần tử nhỏ nhất.

*)Hệ quả

+Nếu $n$ số có tổng bằng $S$ thì luôn tồn tại $1$ số lớn hơn hoặc bằng $\frac{S}{n}$ và một số bé hơn hoặc bằng $\frac{S}{n}$

+Cho $n$ đoạn thẳng trên mặt phẳng,khi đó luôn tồn tại $1$ đoạn có độ dài lớn nhất và $1$ đoạn có độ dài nhỏ nhất

b)Ví dụ:

Cho $n$ số thực $a_{1};a_{2};...;a_{n}$ có tính chất:Tổng của $n-1$ số bất kì lớn hơn số còn lại.Chứng minh rằng trong $n$ số này có ít nhất $3$ số dương

Lời giải:

Theo nguyên tắc cực hạn ta có thể giả sử $a_{1}\leq a_{2}\leq ...\leq a_{n-1}\leq a_{n}$

Ta có $a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}> a_{n};a_{n-1}\leq a_{n}\Rightarrow a_{n}-a_{n-1}\geq 0\Rightarrow a_{1}+a_{2}+...+a_{n-2}> a_{n}-a_{n-1}\geq 0$

$\rightarrow a_{n-2}> 0\rightarrow a_{n}\geq a_{n-1}\geq a_{n-2}> 0$

Ta có đpcm

3.Sử dụng tính chất bất biến:

a)Định nghĩa:

Một tính chất P của một vật A trong phạm trù C gọi là bất biến nếu như mọi vật đẳng cấu với nó đều có tính chất P.

Chú ý:Để giải các bài toán bằng nguyên lý bất biến thì việc quan trọng nhất chính là phát hiện ra các yếu tố bất biến, sau đó là việc sử dụng các yếu tố đó vào trong bài toán một cách thích hợp. Trong mỗi bài toán sau khi giải xong chúng tôi đều phân tích những bất biến nằm trong bài toán. Đó chính là chìa khóa để tìm lời giải cho bài toán.
b)Ví dụ:
Một bàn cờ quốc tế $8\times 8$.Hỏi rằng quân mã có thể đi nước đầu tiên từ ô dưới cùng bên trái và kết thúc ở ô trên cùng bên phải không ? Với điều kiện nó phải đi qua tất cả các ô trên bàn cờ và mỗi ô chỉ đi qua đúng một lần. 
Lời giải:

 

 Do bàn cờ có $64$ ô nên con mã sẽ phải đi $63$ nước mới có thể đến ô cuối cùng.Giả sử ô con mã đang đứng là ô màu đen thì nước tiếp theo con mã sẽ đi ô trắng và nước sau nữa sẽ đi ô đen  :icon6: (bạn có thể xem thêm về cách đi con mã trong cờ vua)
vì $63$ là số lẻ nên đến nước thứ $63$ nó sẽ đứng ở ô màu trắng (vô lí vì ô con mã đứng ban đầu cùng màu với ô trên cùng bên phải)Do đó quân mã không thể đi nước đầu tiên từ ô dưới cùng bên trái và kết thúc ở ô trên cùng bên phải được,ta đã có đpcm. 

 

4.Nguyên lí Dirichlet:

a)Lý thuyết:

*)Nguyên lí Dirichlet cơ bản:

Nếu nhốt $n+1$ con thỏ vào $n$ chuồng thì bao giờ cũng có  $1$ chuồng chứa ít nhất $2$ con thỏ

*)Nguyên lí Dirichlet tổng quát:

Nếu có $N$ đồ vật được đặt trong $k$ hộp thì sẽ tồn tại $1$ hộp có $\left [ \frac{N}{k} \right ]$ đồ vật.

Chứng minh:Ta sẽ cm bằng phương pháp phản chứng

Giả sử mọi hộp đều chứa ít hơn $\left [ \frac{N}{k} \right ]$ đồ vật,khi đó tổng số đồ vật là $k(\left [ \frac{N}{k} \right ]-1)< k.\left [ \frac{N}{k} \right ]=N\rightarrow$ mâu thuẫn với giả thiết là có $N$ đồ vật được sắp xếp.

*)Nguyên lí Dirichlet mở rộng:

Nếu nhốt $n$ con thỏ vào $m\geq 2$ cái chuồng thì tồn tại  $1$ chuồng  chứa ít nhất $\left [ \frac{n+m-1}{m} \right ]$ con thỏ

Chứng minh:Ta cũng sẽ cm bằng phản chứng

Giả sử mọi chuồng đều chứa ít hơn $\left [ \frac{n+m-1}{m} \right ]$ con thỏ thì $\left [ \frac{n+m-1}{m} \right ]=\left [ \frac{n-1}{m}+1 \right ]=\left [ \frac{n-1}{m} \right ]+1$ con thỏ trong mỗi chuồng đều bé hơn hoặc bằng $\left [ \frac{n-1}{m} \right ]$ con.Từ đó suy ra $m\left [ \frac{n-1}{m} \right ]\leq n-1$ (con) (vô lí vì có $n$ chuồng thỏ).Vậy điều giả sử là sai,ta có đpcm

*)Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp

Cho $A$ và $B$ là $2$ tập hợp khác rỗng có số phần tử hữu hạn,mà số lượng phần tử của $A$ lớn hơn số lượng phần tử của $B$.Nếu với $1$ quy tắc nào đó,mỗi phần tử của $A$ cho tương ứng với $1$ phần tử của $B$,thì tồn tại ít nhất $2$ phần tử khác nhau của $A$ mà chúng tương ứng với $1$ phần tử của $B$.

*)Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp mở rộng:

Giả sử $A;B$ là $2$ tập hợp có hữu hạn các phần tử và $S(A);S(B)$ tương ứng kí hiệu là các số lượng phần tử của $A$ và $B$.Giả sử có $1$ số tự nhiên $k$ nào đó mà $S(A)>k.S(B)$ và ta có quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử của $A$ mà chúng tương ứng với $1$ phần tử của $B$.

Chú ý:Khi $k=1$ ta có nguyên lí Dirichlet

*)Nguyên lí Dirichlet cho diện tích

Nếu $K$ là $1$ hình phẳng còn $K_{1};K_{2};...;K_{n}$ là các hình phẳng sao cho $K_{i}\subseteq K$ với $i=\overline{1;n}$ và $S_{K}< S_{K_{1}}+S_{K_{2}}+...+S_{K_{n}}$ (kí hiệu $S$ là diện tích) thì tồn tại ít nhất $2$ hình phẳng  $H_{i};H_{j}$$(1\leq i\leq j\leq n)$ sao cho $H_{i};H_{j}$ không có điểm chung.

Chú ý :Ta nói $P$ là điểm trong của tập hợp $A$ trên mặt phẳng nếu như tồn tại hình tròn tâm $P$ bán kính đủ bé sao cho hình tròn này nằm trọn trong $A$ 

Tương tự như nguyên lí Dirichlet cho diện tích ta cũng có các nguyên lí Dirichlet cho độ dài đoạn thẳng,thể tích các vật thể.

*)Nguyên lí Dirichlet vô hạn

Nếu chia $1$ tập hợp vô hạn các quả táo vào hữu hạn ngăn kéo thì phải có ít nhất $1$ ngăn kéo chứa vô hạn các quả táo.

b)Phương pháp ứng dụng

Nguyên lí Dirichlet tưởng chừng như đơn giản như vậy, nhưng nó là một công cụ hết sức có hiệu quả dùng để chứng mình nhiều kết quả hết sức sâu sắc của toán học. Nguyên lí Dirichlet cũng được áp dụng cho các bài toán của hình học, điều đó được thể hiện qua hệ thống bài tập sau

Để sử dụng nguyên lý Dirichlet ta phải làm xuất hiện tình huống nhốt “thỏ” vào “chuồng” và thoả mãn các điều kiện

+ Số ‘thỏ” phải hiều hơn số chuồn

+ “Thỏ” phải được nhốt hết vào các “chuồng”, nhưng không bắt buộc chuồng nào cũng phải có thỏ

Thường phương pháp Dirichlet được áp dụng kèm theo phương pháp phản chứng. Ngoài ra nó còn có thể áp dụng với các phép biến hình.

5.Sử dụng một số bổ đề hình học:

  • ​​​Bổ đề về đa giác bao:Cho $n$ điểm không cùng thuộc một đường thẳng.Tồn tại một đa giác lồi $m$ cạnh $(m \leq n)$ có đỉnh là $m$ trong $n$ điểm đã cho sao cho các điểm còn lại không nằm ngoài đa giác.
  • Bổ đề về góc bao:Cho $n$ điểm không cùng thuộc một đường thẳng.Tồn tại một góc bẹt có đỉnh là một trong $n$ điểm đã cho sao cho các điểm còn lại không thuộc miền ngoài góc đó.
  • Bổ đề về hình bình hành phủ đa giác:Cho một đa giác lồi.Tồn tại một hình bình hành có diện tích không quá hai lần diện tích đa giác sao cho các đỉnh của đa giác nằm trong hoặc trên biên của hình bình hành

​Chứng minh:

Vì số điểm đã cho $n$ là hữu hạn nên tồn tại một đường tròn có bán kính đủ lớn chứa tất cả $n$ điểm.Gọi $xy$ là đường thẳng nằm ngang không giao với đường tròn.Gọi $A_{1}$ là điểm gần $xy$ nhất (nếu có nhiều điểm thì chọn $A_{1}$ là điểm cuối cùng bên phải).Qua $A_{1}$ kẻ đường thẳng $d$ song song vs $xy$

Quay đường thẳng $d$ quanh $A_{1}$ ngược chiều kim đồng hồ cho đến khi gặp một điểm đã cho,ta được đường thẳng $d_{1}$,gọi điểm vừa gặp là $A_{2}$(nếu có nhiều điểm thuộc $d_{1}$ thì chọn $A_{2}$ là điểm xa $A_{1}$ nhất)

Cũng tương tự vs cách làm trên ta được các đường thẳng $d_{2}$;$d_{3}$;... cho đến khi được đường thẳng qua $A_{1}$ gọi là $d_{m}$ ta nhận được đa giác lồi $A_{1}$$A_{2}$...$A_{m}$ thoả mãn đề bài.

Chú ý: Ta gọi đa giác lồi tạo thành theo cách trên là đa giác bao $n$ điểm đã cho

  • Bổ đề về góc bao: Chứng minh tương tự như bổ đề về đa giác bao

Chú ý: Ta gọi góc tạo thành theo cách trên là góc bao $n$ điểm đã cho

  • Bổ đề về hình bình hành phủ đa giác:File gửi kèm  VMF tổ.bmp   604.55K   413 Số lần tải

Gọi $a$ là đường thẳng chứa cạnh $AB$ của đa giác.Gọi $C$ là đỉnh của đa giác cách xa $AC$ nhất .Qua $C$ kẻ đường thẳng $b$ song song vs $AB$

Gọi $D,E$ là các đỉnh của đa giác cách xa $AC$ nhất về hai phía của $AC$.Qua $D$ kẻ đường thẳng $c$ song song với $AC$.Qua $E$ kẻ đường thẳng $d$ song song vs $AC$

Gọi $MNPQ$ là hình bình hành tạo bởi các đường thẳng $a,b,c,d$,các đỉnh của đa giác nằm trong hoặc trên biên của hình bình hành

Hiển nhiên $S_{ACD}+S_{ACE}\leq$ diện tích đa giác mà $S_{ACD}+S_{ACE}=\frac{1}{2}S_{MNPQ}$ nên $2S_{MNPQ}\leq$ diện tích đa giác

6.Phương pháp Graph

a)Một số khái niệm cơ bản

Định nghĩa:Một graph G là một tập hợp hữu hạn các điểm (gọi là đỉnh của graph) cùng với tập hợp các đoạn đường cong hay thẳng (gọi là các cạnh của graph) có các đầu mút tại các đỉnh của graph.

Trong Graph có

  1. Đỉnh:Là các cạnh $A,B,C$
  2. Cung:Có 2 loại cung định hướng và cung không định hướng
  3. Cạnh:Nối hai điểm $A$ và $B$
  4. Khuyên:Hai đầu mút của cạnh trùng nhau
  5. Hành trình (đường đi) là những dây cung liên tiếp trong đó điểm cuối của cung trước trùng với điểm đầu của cung sau.
  6. Bậc của đỉnh:Mỗi đỉnh của graph được gọi là đỉnh bậc $n$ nếu nó là đầu mút của $n$ cạnh 
  7. Độ dài hành trình là tổng số các cung trong hành trình
  8. Hành trình sơ giản:Là hành trình không có đỉnh nào lặp lại hai lần
  9. Chu tuyến:là hành trình hữu hạn,trong đó đỉnh đầu tiên trùng với đỉnh cuối cùng 

Các loại Graph:

  1. Graph không định hướng:gồm những cung không hướng
  2. Graph định hướng:gồm những cung định hướng
  3. Graph liên thông:bất kì hai đỉnh nào cũng nối được một cung 
  4. Cây là graph liên thông nhưng không phải là
  5. Rưng:Là graph liên thông mà mỗi thành phần liên thông là một cây 

Chú ý:

  • Trong mọi graph G tổng tất cả các bậc của các đỉnh là một số chẵn,bằng hai lần tất cả các cạnh của G
  • Số đỉnh bậc lẻ của mọi graph là một số chẵn
  • Trong mọi graph có $n$ đỉnh $(n \geq 2)$ bao giờ cũng có ít nhất hai đỉnh có cùng bậc
  • Một graph là đầy đủ khi và chỉ khi mỗi cặp đỉnh của nó được nối với một cạnh
  • Graph bù của một Graph G là Graph $\overline{G}$ có cùng đỉnh với G và có các cạnh là những cạnh mà ta phải bổ sung vào G để được một graph đầy đủ
  • Nếu một Graph G với $n$ đỉnh $(n>2)$ có đúng hai đỉnh cùng bậc thì G phải có đúng một đỉnh bậc $O$ hoặc đúng một đỉnh bậc $n-1$

b)Ví dụ:

Bài toán:Cho $6$ điểm trong mặt phẳng sao cho bất kì ba điểm nào cũng là đỉnh của một tam giác có các cạnh độ dài khác nhau.Chứng minh cạnh nhỏ nhất của tam giác này là cạnh lớn nhất của tam giác khác

 (Vô địch Toán Ba Lan 1976)

Lời giải:

Tô các cạnh của tam giác bằng hai màu đỏ hoặc xanh với cách tô sau:Tô đỏ cạnh nhỏ nhất ,hai cạnh còn lại có thể tô màu đỏ hoặc xanh.Ta được Graph G đầy đủ có $6$ đỉnh các cạnh còn lại đều được tô xanh hoặc đỏ mà mọi tam giác đều có một cạnh đỏ.

Từ điểm $A$ trong $6$ điểm đã cho nối với $5$ đỉnh còn lại được $5$ cạnh ,trong $5$ cạnh này có ít nhất $3$ cạnh cùng màu,giả sử đó là $AB,AC,AD$

  • Nếu $AB,AC,AD$ cùng màu đỏ mà $\Delta DBC$ có một cạnh màu đỏ giả sử là $BC$.Khi đó $\Delta ABC$ có các cạnh tô đỏ
  • Nếu $AB,AC,AD$ cùng màu xanh thì rõ ràng $BC,BD,DC$ đỏ tức là ta có $\Delta DBC$ có các cạnh tô đỏ

Vậy tồn tại một tam giác mà mọi cạnh của nó đều tô đỏ.Ta có đpcm

 

Bài tập:

Mình sẽ post những bài đơn giản trước rồi các bài khác sẽ tính sau   :icon6: 

Bài 1.Độ dài 3 cạnh của tam giác $ABC$ là 3 số nguyên tố.Chứng minh rằng diện tích của tam giác $ABC$ không thể là số nguyên

Bài 2.Cho các số nguyên $a,b,c$ thoả mãn $a^{2}+b^{2}=c^{2}$.Chứng minh rằng $abc$ chia hết cho $6$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 17-08-2015 - 14:28


#2 arsfanfc

arsfanfc

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp 10A1 -THPT LHP- Quảng Bình

Đã gửi 10-07-2015 - 20:01

1.Độ dài 3 cạnh của tam giác $ABC$ là 3 số nguyên tố.Chứng minh rằng diện tích của tam giác $ABC$ không thể là số nguyên

 

Gọi độ dài 3 cạnh là a,b,c( a,b,c là số nguyên tố)

 

Gọi S là diện tích $\Delta ABC$ ; P là chu vi $\Delta ABC=> P=a+b+c$

Áp dụng công thức HÊ-Rông :

$S=\sqrt{\frac{p}{2}(\frac{p}{2}-a)(\frac{p}{2}-b)(\frac{p}{2}-c)}<=>16S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)$

Giả sử S là sô tự nhiên =>  a,b,c xảy ra 2 TH

TH1: a,b,c là 3 số chẵn $=>a=b=c=2=>S=\sqrt{3}$ (Loại)

TH2: trong 3 số a,b,c có 1 số chẵn 2 số lẻ :Giả sử a chẵn và b,c lẻ => a=2

!) khi b khác c thì$ |b-c| \geq 2 =a$ ( loại vì a,b,c là 3 cạnh của tam giác)

!!) khi$ b=c$ thì $S^2=b^2-1 <=> (b-S)(b+S)=1$ không xảy ra

Vậy S không thể là số tự nhiên 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi arsfanfc: 10-07-2015 - 20:02

~YÊU ~


#3 arsfanfc

arsfanfc

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp 10A1 -THPT LHP- Quảng Bình

Đã gửi 10-07-2015 - 20:05

Đóng Góp 1 bài:

Bài 3: cho 100 số tự nhiên $a_1;a_2;a_3;...;a_{100}$ thỏa mãn :

$\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{100}}}=19$

chứng minh răng trong 100 số tự nhiên đó tồn tại 2 số bằng nhau


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi arsfanfc: 10-07-2015 - 20:07

~YÊU ~


#4 Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11 Toán, THPT chuyên Võ Nguyên Giáp, Quảng Bình
  • Sở thích:Geometry, Combinatorial

Đã gửi 10-07-2015 - 20:27

Đóng Góp 1 bài:

Bài 3: cho 100 số tự nhiên $a_1;a_2;a_3;...;a_{100}$ thỏa mãn :

$\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{100}}}=19$

chứng minh răng trong 100 số tự nhiên đó tồn tại 2 số bằng nhau

Giả sử trong 100 số tự nhiên đó không tồn tại 2 số bằng nhau, khi đó thì:

$\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{100}}}\leq \frac{1}{1}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}$

Giờ ta sẽ chứng minh:$\frac{1}{1}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}<19$

Ta có:$\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k}}<\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}=2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})$

Do đó:$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}<1+2(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99})=19$

Từ đó => ĐPCM


Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#5 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:A1K45 PBC
  • Sở thích:Magic Kaito,Holmes,Conan...

Đã gửi 11-07-2015 - 10:38

           MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TỔ HỢP THCS

2.Cho các số nguyên $a,b,c$ thoả mãn $a^{2}+b^{2}=c^{2}$.Chứng minh rằng $abc$ chia hết cho $6$

Không ai giải thì em xử nốt vậy  :closedeyes: 

2.+Giả sử $abc$ không chia hết cho $2$ thì cả $3$ số $a;b;c$ đều là số lẻ.Khi đó $a^{2}+b^{2}$ là số chẵn nên $c^2$ là số chẵn (vô lí)

Vậy điều gs là sai nên $abc$ chia hết cho $2$ (1)

+Giả sử $abc$ không chia hết cho $3$ thì cả $3$ số $a;b;c$ đều không chia hết cho $3$ do đó sẽ có dạng $3k\pm 1(k\epsilon Z)$

$\rightarrow (3k\pm 1)^{2}=9k^{2}\pm 6k+1$

Suy ra cả $3$ số $a^2;b^2;c^2$ chia cho $3$ dư $1$ $\Rightarrow a^{2}+b^{2}\equiv 2(mod 3)\rightarrow VT\neq VP$ (vô lí)

Vậy điều gs là sai nên $abc$ chia hết cho $3$  (2)

Từ (1)(2) ta suy ra $abc$ chia hết cho $2.3=6$ (vì $(2;3)=1$)

Ta có đpcm

Nhân tiện mời mọi người giải nốt bài tiếp theo  :icon6: 

Bài 4: Giả sử $a_{1};a_{2};...;a_{11}$ là các số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng $2$,đôi một khác nhau và thoả mãn 

$a_{1}+a_{2}+...+a_{11}=407$.Cm rằng không tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho tổng các số dư của các phép chia $n$ cho $22$ số $a_{1};a_{2};...;a_{11}$;$4a_{1};4a_{2};...;4a_{11}$ bằng $2012$



#6 phamngochung9a

phamngochung9a

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THPT
  • 480 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\text{Planet Vegeta}$
  • Sở thích:${\color{Cyan}{\boxed{{\color{Yellow}{\boxed{{\color{blue}
    \bigstar}}\boxed{\color{red}{\text{Dragon ball}}}\boxed{{\color{Green}\bigstar}}}}}}}$

Đã gửi 11-07-2015 - 14:39

Bài 5: Cho $5$ điểm nguyên trên hệ trục tọa độ $Oxy$. Chứng minh rằng luôn tìm được một tam giác có $3$ đỉnh là $3$ điểm trong $5$ điểm đã cho có diện tích nguyên


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 11-07-2015 - 14:41


#7 Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1390 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{THPT}$ $\textrm{ Chuyên Lương Văn Tụy}$ $\textrm{Ninh Bình}$
  • Sở thích:$\textrm{Làm Những Gì Mình Thích}$

Đã gửi 11-07-2015 - 17:42

Không ai giải thì em xử nốt vậy  :closedeyes: 

2.+Giả sử $abc$ không chia hết cho $2$ thì cả $3$ số $a;b;c$ đều là số lẻ.Khi đó $a^{2}+b^{2}$ là số chẵn nên $c^2$ là số chẵn (vô lí)

Vậy điều gs là sai nên $abc$ chia hết cho $2$ (1)

+Giả sử $abc$ không chia hết cho $3$ thì cả $3$ số $a;b;c$ đều không chia hết cho $3$ do đó sẽ có dạng $3k\pm 1(k\epsilon Z)$

$\rightarrow (3k\pm 1)^{2}=9k^{2}\pm 6k+1$

Suy ra cả $3$ số $a^2;b^2;c^2$ chia cho $3$ dư $1$ $\Rightarrow a^{2}+b^{2}\equiv 2(mod 3)\rightarrow VT\neq VP$ (vô lí)

Vậy điều gs là sai nên $abc$ chia hết cho $3$  (2)

Từ (1)(2) ta suy ra $abc$ chia hết cho $2.3=6$ (vì $(2;3)=1$)

Ta có đpcm

Nhân tiện mời mọi người giải nốt bài tiếp theo  :icon6: 

 

Bài này được mở rộng rất nhiều ví dụ như $abc$ chia hết cho $60$



#8 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1370 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:♥•.:.ღ ๖ۣۜBờm & L.๖ۣۜCún's House ღ.:.•♥
  • Sở thích:╔♫═╗╔╗ ♥
    ╚╗╔╝║║♫═╦╦╦╔╗
    ╔╝╚╗♫╚╣║║║║╔╣
    ╚═♫╝╚═╩═╩♫╩═╝

Đã gửi 11-07-2015 - 17:45

Bài 4: Giả sử $a_{1};a_{2};...;a_{11}$ là các số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng $2$,đôi một khác nhau và thoả mãn 

$a_{1}+a_{2}+...+a_{11}=407$.Cm rằng không tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho tổng các số dư của các phép chia $n$ cho $22$ số $a_{1};a_{2};...;a_{11}$;$4a_{1};4a_{2};...;4a_{11}$ bằng $2012$

$n\equiv 4a-1$ ( mod $4a$) $\Rightarrow n\equiv a-1$ (mod $a$ )  (*)

Giả sử tồn tại $n$ thõa mãn yêu cầu bài toán 

Nếu như mọi phép chia đều thiếu $1$

$\Rightarrow$ Tổng số dư của các phép chia $n$ cho $a_1,a_2,...,a_{11},4a_1,4a_2,...,4a_{11}$ là $407+4.407-11-11=2013$

Do tổng các số dư $=2012$ nên phải có $21$ phép chia đều thiếu $1$ và$1$ phép chia thiếu $2$

Nếu phép chia $n$ cho $a_1$ thiếu $2$ mà $n$ chia $4a_1$ thiếu $1$ sẽ mâu thuẫn với (*)

$\Rightarrow$ Không tồn tại $n$ thõa mãn YCBT


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhamHungCxHT: 11-07-2015 - 17:46


#9 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:A1K45 PBC
  • Sở thích:Magic Kaito,Holmes,Conan...

Đã gửi 11-07-2015 - 18:49

Bài 7:Một nước có $80$ sân bay mà khoảng cách giữa $2$ sân bay nào cũng khác nhau.Mỗi máy bay cất cánh từ $1$ sân bay và bay đến sân bay gần nhất.Cm:Trên bất kì sân bay nào cũng không thể quá $5$ máy bay đến

Bài 8:Chứng minh rằng không tồn tại số $n$ lẻ;$n>1$ sao cho $15^n+1$ chia hết cho $n$

Spoiler


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 13-08-2015 - 21:26


#10 quan1234

quan1234

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 256 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Đông Thành - Quàng Ninh
  • Sở thích:Học toán,lý,hoá
    Đá bóng

Đã gửi 11-07-2015 - 21:54

Bài 9, Cho các số tự nhiên $n>1$ và $n+2$ số nguyên dương $a_{1} ,a_{2} ,....a_{n+2}$ thỏa mãn điều kiện:

$1\leq a_{1}<a_{2}<...<a_{n+2} \leq 3n$

Chứng minh rằng luôn tồn tại hai số $a_{i},a_{j} (1\leq j<i \leq n+2)$ sao cho:

$n<a_{i}-a_{j}<2n$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 12-07-2015 - 09:05


#11 Namthemaster1234

Namthemaster1234

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 545 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K45 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:Lịch Sử và Văn Hóa Trung Hoa

Đã gửi 12-07-2015 - 08:57

Bài 7, Cho các số tự nhiên n>1 và n+2 số nguyên dương a,a,....an+2 thỏa mãn điều kiện:

1$\leq$a1<a2<...<an+2$\leq$3n

Chứng minh rằng luôn tồn tại hai số ai,aj (1$\leq$j<i$\leq$n+2) sao cho:

n<ai-aj<2n

 

  • Lời Giải:  Với mọi k đặt $b_i=a_i +k$ thì $a_i - a_j= b_i - b_j$ $(*)$

Chọn k sao cho $b_{n+2}=3n$ và xét dãy số  $1\leq b_1< b_2 < ... < b_{n+2} = 3n $

 

Xét 2 khả năng:

 

Khả năng 1:  Nếu tồn tại j sao cho $n<b_j<2n$ thì ta có ngay $n<b_{n+2}-b_j <2n$

 

Khả năng 2: Nếu không có $b_j$ nào thuộc đoạn $[n+1; 2n-1]$ thì các số $b_1;...;b_{n+1}$ có mặt ở các cặp số : $(1,2n) ; (2,2n+1) ; ...; (n;3n-1)$

 

Do $n+1>n$ nên tồn tại 2 số $b_i$ và $b_j$ ( $j <i$ )thuộc cùng một cặp chẳng hạn cặp $( t ; 2n+t-1)$ hay $n<b_i-b_j=2n+t-1-t=2n-1<2n$

 

Như vậy ta hoàn toàn tìm được cặp $b_i; b_j$ thỏa mãn đề bài hay kéo theo cặp $(a_i;a_j)$ thỏa mãn

 

P/s : Votruc nên đăng thêm các tổ hợp hình học.  


Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)

Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56

:icon6: :icon6: :icon6: :icon6: :icon6:


#12 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:A1K45 PBC
  • Sở thích:Magic Kaito,Holmes,Conan...

Đã gửi 12-07-2015 - 09:16

 

P/s : Votruc nên đăng thêm các tổ hợp hình học.  

 

Mình sẽ đăng các bài theo từng dạng để tiện làm hơn còn nếu lộn xộn các dạng với nhau thì e là topic đã nguội còn nguội hơn thôi (thử nhìn các topic tổ hợp THCS khác thì biết,có nhộn nhịp như mấy topic PT vô tỉ,PT nghiệm nguyên gì đâu  :( )

Còn đây là $2$ bài toán hình sử dụng nguyên lí cực hạn

Bài 10:Trong tam giác $ABC$ có $3$ góc nhọn.Lấy $1$ điểm $P$ bất kì,cm khoảng cách lớn nhất trong các khoảng cách từ điểm $P$ đến các đỉnh $A,B,C$ của tam giác không nhỏ hơn $2$ lần khoảng cách bé nhất trong các khoảng cách từ điểm $P$ đến các cạnh của tam giác đó

Bài 11:Trên mặt phẳng cho $2\times 2016$ điểm trong đó không có bất kì $3$ điểm nào thẳng hàng.Người ta tô $2016$ điểm màu đỏ và $2016$ điểm còn lại màu xanh.Cm:Bao giờ cũng tồn tại $1$ cách nối tất cả các điểm màu đỏ với tất cả các điểm màu xanh bởi $2016$ đoạn thẳng không có điểm nào chung


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 12-07-2015 - 09:29


#13 Namthemaster1234

Namthemaster1234

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 545 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K45 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:Lịch Sử và Văn Hóa Trung Hoa

Đã gửi 12-07-2015 - 09:27

 

Bài 7:Một nước có $80$ sân bay mà khoảng cách giữa $2$ sân bay nào cũng khác nhau.Mỗi máy bay cất cánh từ $1$ sân bay và bay đến sân bay gần nhất.Cm:Trên bất kì sân bay nào cũng không thể quá $5$ máy bay đến

 

 

Bài 7  Giả sử tồn tại một sân bay (O) mà có 6 máy bay ''phi'' đến. Thì tồn tại 2 sân bay  A, B sao cho góc $AOB \leq 60 $ . Một trong 2 góc OAB và

 

OBA có số đo lớn hơn hoặc bằng 60 độ. Giả sử $OAB \geq 60$ thì OAB > AOB nên AB < OB hay B gần A hơn O ( Vô lý )

 

P/S : Cũng nên nói thêm, ta nên giải quyết triệt để các bài toán đưa ra 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 12-07-2015 - 09:30

Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)

Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56

:icon6: :icon6: :icon6: :icon6: :icon6:


#14 kimchitwinkle

kimchitwinkle

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 524 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 13-07-2015 - 17:45

Bài 12 : Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k > 1 sao cho $3^{k}$ kết thúc bằng 0001


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kimchitwinkle: 13-07-2015 - 20:51


#15 arsfanfc

arsfanfc

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp 10A1 -THPT LHP- Quảng Bình

Đã gửi 13-07-2015 - 19:37

Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k > 1 sao cho $3^{k}$ kết thúc bằng 0001

$3^k$ kết thúc bằng $0001$ hay $3^k-1$ chia hết cho $10000$

xét $3^k ( với k \in 2;3;...;9999)$

khi chia cho $10000$ có số dư $(0;1;2;...;9999)$

Vì số Bị chia ít hơn số dư nên sẻ có ít nhất 2 số có cùng số dư

Giả sử là $a^m$ và $a^n$ ( với $2 \geq m <n \geq 9999)$

$=> a^n-a^m$   chia hết cho $10^4$

$=> a^n-a^m=t.10^4$

mà $a^n-a^m=a^m(3^{n-m}-1)$

mà $a^m$ ko chia hết cho $10^4 => 3^{n-m}-1$ chia hết cho $10^4=>$ tồn tại 1 số $3^k-1$ chia hết cho $10^4$=>đpcm

P/S


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi arsfanfc: 13-07-2015 - 19:39

~YÊU ~


#16 kimchitwinkle

kimchitwinkle

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 524 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 13-07-2015 - 21:04

Bài 13 : Cho a và b là các số thực dương. Chọn r là nghiệm có giá trị tuyệt đối nhỏ nhất của phương trình : $x^{3}-ax+b=0$ . CMR : $\frac{b}{a}< r\leq \frac{3b}{2a}$



#17 kimchitwinkle

kimchitwinkle

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 524 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 14-07-2015 - 09:49

Bài 14 : Cho 5 điểm bất kì trong một hình cầu .Chứng minh tồn tại 4 điểm trong số đó cùng thuộc một bán cầu.



#18 hoilamchi

hoilamchi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Can Lộc
  • Sở thích:Doraemon và những thứ liên quan đến Mon ú

Đã gửi 15-07-2015 - 17:00

Bài 10:Trong tam giác $ABC$ có $3$ góc nhọn.Lấy $1$ điểm $P$ bất kì,cm khoảng cách lớn nhất trong các khoảng cách từ điểm $P$ đến các đỉnh $A,B,C$ của tam giác không nhỏ hơn $2$ lần khoảng cách bé nhất trong các khoảng cách từ điểm $P$ đến các cạnh của tam giác đó

Bài 11:Trên mặt phẳng cho $2\times 2016$ điểm trong đó không có bất kì $3$ điểm nào thẳng hàng.Người ta tô $2016$ điểm màu đỏ và $2016$ điểm còn lại màu xanh.Cm:Bao giờ cũng tồn tại $1$ cách nối tất cả các điểm màu đỏ với tất cả các điểm màu xanh bởi $2016$ đoạn thẳng không có điểm nào chung

10. Hình vẽ File gửi kèm  VMF.bmp   576.05K   246 Số lần tải

Kẻ  $PE;PF;PG$ lần lượt vuông góc với $AB;AC;BC$

Nhận thấy :

$\widehat{APE}+\widehat{EPB}+\widehat{BPG}+\widehat{CPG}+\widehat{FPC}+\widehat{APF}=360^{\circ}$

Do đó góc lớn nhất trong $6$ góc này không thể nhỏ hơn $60$ độ

Không mất tính tổng quát giả sử $\widehat{APE}$ là góc lớn nhất $\rightarrow \widehat{APE}\geq 60^{\circ}$

Xét $\Delta APE(\widehat{AEP}=90^{\circ})\rightarrow \frac{PE}{PA}=cos APE\leq cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}\rightarrow 2PE\leq PA(đpcm)$



#19 hoilamchi

hoilamchi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Can Lộc
  • Sở thích:Doraemon và những thứ liên quan đến Mon ú

Đã gửi 15-07-2015 - 17:19

Bài 11:Trên mặt phẳng cho $2\times 2016$ điểm trong đó không có bất kì $3$ điểm nào thẳng hàng.Người ta tô $2016$ điểm màu đỏ và $2016$ điểm còn lại màu xanh.Cm:Bao giờ cũng tồn tại $1$ cách nối tất cả các điểm màu đỏ với tất cả các điểm màu xanh bởi $2016$ đoạn thẳng không có điểm nào chung

Giả sử có $2$ đoạn $AX$ và $BY$ cắt nhau tạ $O$ có tổng độ dài là nhỏ nhất (giả sử $A;B$ tô màu đỏ còn $X;Y$ tô màu xanh)

Nếu thay $AX$ và $BY$ bởi $AY$ và $BX$ các đoạn còn lại không đổi thì ta có 

$AY+BX< (AO+OY)+(BO+OX)=AX+BY$ (đúng theo bất đẳng thức tam giác)

(vô lí)

Vậy Bao giờ cũng tồn tại $1$ cách nối tất cả các điểm màu đỏ với tất cả các điểm màu xanh bởi các đoạn thẳng không có điểm nào chung

File gửi kèm

  • File gửi kèm  my VMF.bmp   576.05K   297 Số lần tải


#20 kimchitwinkle

kimchitwinkle

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 524 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 16-07-2015 - 12:51

Bài 15 : Một bạn cờ quốc tế $8\times 8$  . Hỏi rằng quân mã có thể đi nước đầu tiên từ ô dưới cùng bên trái và kết thúc ở ô trên cùng bên phải không ? Với điều kiện nó phải đi qua tất cả các ô trên bàn cờ và mỗi ô chỉ đi qua đúng một lần. 






4 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 4 khách, 0 thành viên ẩn danh