Chủ đề này có 136 trả lời

[kimchitwinkle]

Bài 35 : Cho 1 dãy số gồm 19 số nguyên dương không vượt quá 93 và 1 dãy số gồm 93 số nguyên dương không vượt quá 19. CMR từ 2 dãy số đó ta có thể lần lượt trích ra 2 dãy con có tổng các số bằng nhau .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kimchitwinkle: 02-08-2015 - 13:01

[kimchitwinkle]

Bài 36: Cho 2 tập hợp A, B thỏa mãn các điều kiện:

a, Mỗi tập hợp đều gồm các số nguyên dương khác nhau và nhỏ hơn 1990

b, Tổng số phần tử của A và B lớn hơn 1990

CMR tồn tại ít nhất 1 phần tử của A và 1 phần tử của B có tổng bằng 1990.

[olympiachapcanhuocmo]

Bài 37 : Trong một vườn rau cạnh 10 có 1 cái giếng . Các đường ống dẫn nước từ giếng được phân bố sao cho khoảng cách từ 1 điểm bất kì của vườn tới ống dẫn nước gần nhất không quá 1 .

              Chứng minh rằng : độ dài đường ống dẫn nước lớn hơn 48

 

Bài 38  : Tam giác ABC có độ dài mỗi đường phân giác nhỏ hơn 1 .

           Chứng minh rằng : diện tích tam giác đó nhỏ hơn $\frac{1}{\sqrt{3}}$

 

Bài 39  : Trong 1 hình vuông cạnh 100 đặt n đường tròn bán kính 1 biết rằng bất kì 1 đoạn thẳng độ dài 10 nào nằm hoàn toàn trong hình vuông cũng cắt ít nhất 1 đường tròn đã cho .

                Chứng minh rằng : $n\geq 400$

 

    

 

 

 

        

[Pham Quoc Thang]

Bài toán cũ

File gửi kèm

•  Capture38.PNG   209.68K   0 Số lần tải

[kevotinh2802]

Bài 40:Ở 1 vòng chung kết cờ vua có 8 đấu thủ tham gia. Mỗi đấu thủ đều phải gặp đủ 7 đấu thủ còn lại, mỗi người 1 trận. Chứng minh rằng trong một thời điểm bất kì giữa các trận đấu, bao giờ cũng có 2 đấu thủ đã đấu 1 số trận là như nhau hoặc 2 đấu thủ chưa đấu trận nào?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 11-08-2015 - 09:55

[olympiachapcanhuocmo]

Ta thấy : mỗi đấu thủ có số trân đấu đã đấu là $s_{i}\in \left \{ 0;1;2;...;7 \right \}$

 

Do không thể xảy ra trường hợp tồn tại 2 đấu thủ A , B mà $s_{A}= 0;s_{B}=7$ nên mỗi đấu thủ chỉ nhận 7 khả năng 

 

Theo nguyên lí Đirichle , ta có : $\exists$ 2 đấu thủ có số trận đấu là như nhau 

 

$\Rightarrow$ Q.E.D

 

 

 

p/s : Mình làm chắc là có chỗ sai sót mong mọi người góp ý !

[olympiachapcanhuocmo]

Mình cũng góp thêm mấy bài sử dụng Nguyên lí Đirrichle :

 

Bài 41 : Cho 1 đa giác đều 100 cạnh . Tại mỗi đỉnh của đa giác , viết 1 trong các số 1,2,3,...,49 .

            Chứng minh rằng tồn tại 4 đỉnh A,B,C,D của đa giác mà AB=CD và a+b=c+d ( kí hiệu a,b,c,d là số được viết tương ứng tại 4 đỉnh A,B,C,D )

 

Bài 42 :  Bên trong 1 tam giác đều cạnh 10 có 45 điểm .

             Chứng minh rằng tồn tại 1 hình tròn bán kính 1 chứa ít nhất 3 trong 45 điểm đã cho

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 11-08-2015 - 09:56

[bvptdhv]

Bài 5: Cho $5$ điểm nguyên trên hệ trục tọa độ $Oxy$. Chứng minh rằng luôn tìm được một tam giác có $3$ đỉnh là $3$ điểm trong $5$ điểm đã cho có diện tích nguyên

Xét tam giác tạo thành từ 3 trong 5 điểm trên, chẳng hạn tam giác ABC có $S_{ABC}=\frac{1}{2}.|(x_{C}-x_{A})(y_{B}-y_{A})-(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{A}|$ (không biết nhớ có đúng k nữa :v)

Có 4 trường hợp (chẵn;lẻ) (chẵn chẵn) (lẻ lẻ) và (lẻ chẵn), do vậy tồn tại 2 điểm cùng tính chẵn lẻ, ví dụ là A,B trên đây luôn, =>đpcm :v

 

[bvptdhv]

Mình cũng góp thêm mấy bài sử dụng Nguyên lí Đirrichle :

 

Bài 40 : Cho 1 đa giác đều 100 cạnh . Tại mỗi đỉnh của đa giác , viết 1 trong các số 1,2,3,...,49 .

            Chứng minh rằng tồn tại 4 đỉnh A,B,C,D của đa giác mà AB=CD và a+b=c+d ( kí hiệu a,b,c,d là số được viết tương ứng tại 4 đỉnh A,B,C,D )

 

 

Long đẹp trai đã giải bài này tại http://diendantoanho...-hình-chữ-nhật/:3

[hoilamchi]

Bài 29: Trong một hình vuông cạnh bằng $1$, lấy $51$ điểm. Chứng minh rằng có $3$ điểm trong $51$ điểm đã cho cùng nằm trong $1$ hình tròn có bán kính bằng $\frac{1}{7}$

Tổng quát hoá bài toán

Chia hình vuông đã cho thành $25$ hình vuông con bằng nhau,mỗi cạnh bằng $\frac{1}{5}$.Theo nguyên lí Dirichlet,tồn tại ít nhất 1 hình vuông con chứa ít nhất 3 điểm trong số 51 điểm đó.Đường tròn ngoại tiếp của nó có bán kính $\frac{1}{5\sqrt{2}}\leq \frac{1}{7}$

Vậy,tồn tại $3$ điểm trong $51$ điểm đã cho cùng nằm trong $1$ hình tròn có bán kính bằng $\frac{1}{7}$

Tổng quát: Cho $a$ là cạnh của hình vuông,$k$ là số điểm đặt bất kì phân biệt.Chứng minh có ít nhất $h$ trong số $k$ điểm đó thuộc 1 hình tròn có bán kính $\frac{a^{2}}{\sqrt{2\left [ \frac{m}{n-1} \right ]}}$

[hoctrocuaHolmes]

Bài 36: Cho 2 tập hợp A, B thỏa mãn các điều kiện:

a, Mỗi tập hợp đều gồm các số nguyên dương khác nhau và nhỏ hơn 1990

b, Tổng số phần tử của A và B lớn hơn 1990

CMR tồn tại ít nhất 1 phần tử của A và 1 phần tử của B có tổng bằng 1990.

Giả sử các phần tử của $A$ là $1\leq a_{1}< a_{2}< ...< a_{n}< 1990$ và các phần tử của $B$ là $1\leq b_{1}< b_{2}< ...< b_{n}< 1990$

Xét các số $a_{1}; a_{2}; ...;a_{n},1990-b_{1};1990-b_{2};...;1990-b_{n}\Rightarrow \exists k,t$ sao cho $1990-b_{t}=a_{k}\rightarrow đpcm$

Tổng quát:Cho 2 tập hợp A, B thỏa mãn các điều kiện:

a, Mỗi tập hợp đều gồm các số nguyên dương khác nhau và nhỏ hơn $m$

b, Tổng số phần tử của A và B lớn hơn $m$

CMR tồn tại ít nhất 1 phần tử của A và 1 phần tử của B có tổng bằng $m$ ($m$ là số nguyên dương)

[hoangyenmn9a]

Bài 43:Trên bàn cờ vua kích thước $8x8$ được chia thành $64$ ô vuông đơn vị, người ta bỏ đi một ô vuông đơn vị nào đó ở vị trí hàng thứ $m$ và cột thứ $n$. Gọi $S(m;n)$ là số hình chữ nhật được tạo bởi một hay nhiều ô vuông đơn vị của bàn cờ sao cho không có ô nào trùng với vị trí của ô bị xóa bỏ ban đầu. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $S(m;n)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 11-08-2015 - 20:58

[hoilamchi]

Bài 43:Trên bàn cờ vua kích thước $8x8$ được chia thành $64$ ô vuông đơn vị, người ta bỏ đi một ô vuông đơn vị nào đó ở vị trí hàng thứ $m$ và cột thứ $n$. Gọi $S(m;n)$ là số hình chữ nhật được tạo bởi một hay nhiều ô vuông đơn vị của bàn cờ sao cho không có ô nào trùng với vị trí của ô bị xóa bỏ ban đầu. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $S(m;n)$

Bài này được giải ở đây câu số $6$ nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoilamchi: 11-08-2015 - 21:05

[olympiachapcanhuocmo]

Bài 44 : Cho 1 hình tròn bán kính 5 , có 10 điểm bên trong đường tròn  .

               Chứng minh rằng : tồn tại 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 2 

 

[kimchitwinkle]

Bài 45:Cho tập hợp $A=\left \{ a_{1} ;a_{2};...................;a_{n}\right \}$ $\epsilon N^{*}$ và số dương m sao cho $n> \frac{m}{2}$ . BIết rằng số dư trong phép chia các phần tử của A cho m là khác nhau đôi một. CMR : với mỗi $k\epsilon Z$ tồn tại $i,j\epsilon \left \{ 1;2;...................;n \right \}$ ( i;j không nhất thiết khác nhau ) sao cho số $a_{i}+a_{j}-k\vdots m$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 24-08-2015 - 17:10

[dogsteven]

Cho tập hợp $A=\left \{ a_{1} ;a_{2};...................;a_{n}\right \}$ $\epsilon N^{*}$ và số dương m sao cho $n> \frac{m}{2}$ . BIết rằng số dư trong phép chia các phần tử của A cho m là khác nhau đôi một. CMR : với mỗi $k\epsilon Z$ tồn tại $i,j\epsilon \left \{ 1;2;...................;n \right \}$ ( i;j không nhất thiết khác nhau ) sao cho số $a_{i}+a_{j}-k\vdots m$

 

Xét dãy $a_1+a_1, a_2+a_2,..., a_n+a_n, a_1+a_2, a_1+a_3,..., a_1+a_n$

Thấy rằng dãy trên có các số hạng là đôi một khác nhau, dãy trên có $2n-1>m-1$ phần tử nên có không ít hơn $m$ phần tử.

Vậy dãy trên đã bao trùm tất cả các số dư của $m$

[olympiachapcanhuocmo]

Bài 46:Trong 1 bảng ô vuông 10$\times$ 10 , chọn 9 ô vuông , rồi tô đen các ô vuông đó . Biết rằng nếu 1 ô vuông trong bảng chưa được tô màu mà có cạnh chung với 2 ô vuông đã được tô màu thì ta tô đen ô vuông đó .

Hỏi có khi nào ta tô được hết bảng ô vuông trên thành các ô vuông màu đen không ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 24-08-2015 - 17:11

[VOHUNGTUAN]

Bài 47:Trên hình tròn bán kính $1$ cho $7$ điểm sao cho khoảng cách  $2$ điểm bất kì không nhỏ hơn $1$.Chứng minh có $1$ điểm trùng tâm đường tròn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 24-08-2015 - 17:12

[VOHUNGTUAN]

Bài 48: Trên mặt phẳng cho $6$ hình tròn với bán kính khác nhau sao cho mỗi đường tròn không chứa tâm đường tròn khác, chứng minh các hình tròn với các tâm trên không có điểm chung

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 24-08-2015 - 17:13

[VOHUNGTUAN]

Bài 47:Trên hình tròn bán kính $1$ cho $7$ điểm sao cho khoảng cách  $2$ điểm bất kì không nhỏ hơn $1$.Chứng minh có $1$ điểm trùng tâm đường tròn

 ko ai làm thì em giải thôi:

   chia hình tròn thành 6 hình quạt bằng nhau. theo nguyên lí ĐIRICLÊ luôn tồn tại 1 hình quạt chứa 2 điểm đã cho. do khoảng cách 2 điểm này <=1 mà theo gt thì khoảng cách này >=1 nên phải có 1 điểm trùng tâm(DPCM)