Chủ đề này có 2 trả lời

[studentlovemath]

Cho x,y,z>0 thỏa mãn $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}=1$
Tìm Min $P=\frac{y^{2}z^{2}}{x(y^{2}+z^{2})}+\frac{z^{2}x^{2}}{y(x^{2}+z^{2})}+\frac{x^{2}y^{y}}{z(x^{2}+y^{2})}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 10-07-2015 - 22:42

[aristotle pytago]

Cho x,y,z>0 thỏa mãn $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}=1$
Tìm Min $P=\frac{y^{2}z^{2}}{x(y^{2}+z^{2})}+\frac{z^{2}x^{2}}{y(x^{2}+z^{2})}+\frac{x^{2}y^{y}}{z(x^{2}+y^{2})}$

chỗ màu đỏ có sai ko bạn

chỗ y$^{y}$ có sai ko bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi aristotle pytago: 10-07-2015 - 22:18

[Senju Hashirama]

Cho x,y,z>0 thỏa mãn $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}=1$
Tìm Min $P=\frac{y^{2}z^{2}}{x(y^{2}+z^{2})}+\frac{z^{2}x^{2}}{y(x^{2}+z^{2})}+\frac{x^{2}y^{y}}{z(x^{2}+y^{2})}$

chắc chỗ $y^{y} là y^{2}$ nhỉ

đặt $a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z}\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

Ta có P=$\sum \frac{a}{1-a^{2}}$

Ta sẽ đi chứng minh :

$\frac{a}{1-a^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}a^{2}}{2} \Leftrightarrow \frac{(3a^{2}-1)^{2}(\sqrt{3}a+2)}{2(1-a^{2})(\sqrt{3}a+1)}\geq 0$ (luôn đúng) 

tương tự $\Rightarrow P=\sum \frac{a}{1-a^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}\sum a^{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=$\frac{1}{\sqrt{3}}$