Tính $$I=\int_0^{+\infty} \frac{dx}{(x+1)(x+2)...(x+n)}$$
Tính $I=\int_0^{+\infty} \frac{dx}{(x+1)(x+2)...(x+n)}$
Bắt đầu bởi Ispectorgadget, 11-07-2015 - 09:35
#1
Đã gửi 11-07-2015 - 09:35
Ispectorgadget
-
- Quản lý Toán Phổ thông
-
- 2946 Bài viết
Nothing
- nguyenlyninhkhang yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#2
Đã gửi 14-07-2015 - 18:06
Mrnhan
-
- Thành viên
-
- 1100 Bài viết
$\text{Uchiha Itachi}$
Tính $$I=\int_0^{+\infty} \frac{dx}{(x+1)(x+2)...(x+n)}$$
Đặt $$f_n(x)=\frac{1}{(x+1)(x+2)...(x+n)}=\frac{1}{(n-1)!}\sum_{i=1}^{n}\frac{(-1)^{i-1}C_{n-1}^{i-1}}{x+i},\, n\geq 2.$$
(Chứng minh bằng quy nạp 
)
)* $n=2k+1$
$$\Rightarrow I_n = \int f_n(x)dx=\frac{1}{(2k)!}\ln\left(\frac{(x+1)(x+3)^{C_{2k}^2}(x+5)^{C_{2k}^4}...(x+2k+1)}{(x+2)^{C_{2k}^1}(x+4)^{C_{2k}^3}...(x+2k)^{C_{2k}^{2k-1}}}\right)+C$$
Theo Newton thì bậc tử bằng bậc mẫu.
$$\Rightarrow I = \frac{1}{(2k)!}\sum_{i=1}^{2k+1}(-1)^{i}\ln(i)C_{2k}^{i-1}$$
* $n=2k$ làm tương tự
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mrnhan: 14-07-2015 - 18:07
$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$
$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
