Đến nội dung

Hình ảnh

$ \sum \frac{a}{b(4c+15)(b+2c)^{2}} \geq \frac{1}{3} $

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Quoc Tuan Qbdh

Quoc Tuan Qbdh

    DragonBoy

  • Điều hành viên THCS
  • 1005 Bài viết

Cho $a,b,c$ là ba số thực không âm thỏa mãn $ \prod (a+b+2c) = 1 $ . Chứng minh rằng

 $ \sum \frac{a}{b(4c+15)(b+2c)^{2}} \geq \frac{1}{3} $



#2
NhatTruong2405

NhatTruong2405

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 155 Bài viết

Cho $a,b,c$ là ba số thực không âm thỏa mãn $ \prod (a+b+2c) = 1 $ . Chứng minh rằng

 $ \sum \frac{a}{b(4c+15)(b+2c)^{2}} \geq \frac{1}{3} $

Đây nè bạn :D Nhìn quen quen thì ra là đề của LHP :closedeyes:  http://diendantoanho...15/#entry542983



#3
the man

the man

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 589 Bài viết

Cho $a,b,c$ là ba số thực không âm thỏa mãn $ \prod (a+b+2c) = 1 $ . Chứng minh rằng

 $ \sum \frac{a}{b(4c+15)(b+2c)^{2}} \geq \frac{1}{3} $

Cách khác:

 

Sử dụng bất đẳng thức Holder và Cauchy-Schwarz:

   $\sum \frac{a}{b(4c+15)(b+2c)^2}.\sum ab.\sum a(4c+15).\sum a(b+2c).\sum a(b+2c)\geq (\sum a)^5$

   $\Rightarrow P\geq \frac{(a+b+c)^5}{9(ab+bc+ac)^3.[4(ab+bc+ca)+15(a+b+c)]}\geq \frac{(a+b+c)^5}{(ab+bc+ca)   (a+b+c)^2[\frac{4}{3}(a+b+c)^2+15(a+b+c)]}=\frac{3}{(ab+bc+ca)[4(a+b+c)+45]}$

   $=\frac{3}{4(ab+bc+ca)(a+b+c)+45(ab+bc+ca)}$  (1)

Sử dụng AM-GM:

   $\sum (a+b+2c)\geq 3\sqrt[3]{\prod (a+b+2c)}=3\Rightarrow a+b+c\geq \frac{3}{4}$ (*)

   $1=\prod [(a+c)+(b+c)]\geq 8(a+b)(b+c)(c+a)\Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)\leq \frac{1}{8}$

Ta có bất đẳng thức quen thuộc:

   $(a+b+c)(ab+bc+ca)\leq \frac{9}{8}(a+b)(b+c)(c+a)\leq \frac{9}{64}$  (2)

   $\Rightarrow ab+bc+ca\leq \frac{3}{16}$  (do (*))  (3)

Từ  (1),(2),(3)  ta được đpcm


"God made the integers, all else is the work of man."

                                                Leopold Kronecker





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh