Cho $a,b,c$ là ba số thực không âm thỏa mãn $ \prod (a+b+2c) = 1 $ . Chứng minh rằng
$ \sum \frac{a}{b(4c+15)(b+2c)^{2}} \geq \frac{1}{3} $
Cho $a,b,c$ là ba số thực không âm thỏa mãn $ \prod (a+b+2c) = 1 $ . Chứng minh rằng
$ \sum \frac{a}{b(4c+15)(b+2c)^{2}} \geq \frac{1}{3} $
Cho $a,b,c$ là ba số thực không âm thỏa mãn $ \prod (a+b+2c) = 1 $ . Chứng minh rằng
$ \sum \frac{a}{b(4c+15)(b+2c)^{2}} \geq \frac{1}{3} $
Đây nè bạn Nhìn quen quen thì ra là đề của LHP http://diendantoanho...15/#entry542983
Cho $a,b,c$ là ba số thực không âm thỏa mãn $ \prod (a+b+2c) = 1 $ . Chứng minh rằng
$ \sum \frac{a}{b(4c+15)(b+2c)^{2}} \geq \frac{1}{3} $
Cách khác:
Sử dụng bất đẳng thức Holder và Cauchy-Schwarz:
$\sum \frac{a}{b(4c+15)(b+2c)^2}.\sum ab.\sum a(4c+15).\sum a(b+2c).\sum a(b+2c)\geq (\sum a)^5$
$\Rightarrow P\geq \frac{(a+b+c)^5}{9(ab+bc+ac)^3.[4(ab+bc+ca)+15(a+b+c)]}\geq \frac{(a+b+c)^5}{(ab+bc+ca) (a+b+c)^2[\frac{4}{3}(a+b+c)^2+15(a+b+c)]}=\frac{3}{(ab+bc+ca)[4(a+b+c)+45]}$
$=\frac{3}{4(ab+bc+ca)(a+b+c)+45(ab+bc+ca)}$ (1)
Sử dụng AM-GM:
$\sum (a+b+2c)\geq 3\sqrt[3]{\prod (a+b+2c)}=3\Rightarrow a+b+c\geq \frac{3}{4}$ (*)
$1=\prod [(a+c)+(b+c)]\geq 8(a+b)(b+c)(c+a)\Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)\leq \frac{1}{8}$
Ta có bất đẳng thức quen thuộc:
$(a+b+c)(ab+bc+ca)\leq \frac{9}{8}(a+b)(b+c)(c+a)\leq \frac{9}{64}$ (2)
$\Rightarrow ab+bc+ca\leq \frac{3}{16}$ (do (*)) (3)
Từ (1),(2),(3) ta được đpcm
"God made the integers, all else is the work of man."
Leopold Kronecker
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh