1) Cho $a,b,c$ dương $ab+bc+ac=abc$ . C/m :
$\sum \frac{1}{a+2b+3c}<\frac{3}{16}$
2) Cho $a,b,c$ dương. $a+b+c=1$. C/m : $\frac{3}{ab+bc+ac}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}>14$
3) Tìm Min biết $a,b$ dương $a+b \ge 1$ . $B=\frac{1}{a^2+ab}+\frac{1}{b^2+ab}$
$ \sum \frac{1}{a+2b+3c}<\frac{3}{16}$
#1
Đã gửi 12-07-2015 - 21:18
#2
Đã gửi 12-07-2015 - 21:31
Từ giả thết rút ra được: $\sum \frac{1}{a}=1$
Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz:
$\sum (\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c})\geq \sum \frac{36}{a+2b+3c}$
Do đó:$\sum \frac{1}{a+2b+3c}\leq \frac{1}{6}<\frac{3}{16}$
- I Love MC, Quoc Tuan Qbdh và Nguyen Hoang Duyy thích
#3
Đã gửi 12-07-2015 - 21:35
1) Cho $a,b,c$ dương $ab+bc+ac=abc$ . C/m :
$\sum \frac{1}{a+2b+3c}<\frac{3}{16}$
2) Cho $a,b,c$ dương. $a+b+c=1$. C/m : $\frac{3}{ab+bc+ac}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}>14$
3) Tìm Min biết $a,b$ dương $a+b \ge 1$ . $B=\frac{1}{a^2+ab}+\frac{1}{b^2+ab}$
1)Từ GT ta có:$\sum \frac{1}{a}=1$
$\sum \frac{1}{a+2b+3c}=\sum \frac{1}{a+b+b+c+2c}\leq \sum \frac{1}{9}\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2c} \right )\leq \sum \frac{1}{9}\left [ \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right ) +\frac{1}{4}\left ( \frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )+\frac{1}{2c}\right ]= \frac{1}{6}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )=\frac{1}{6}$
2)Áp dụng BĐT $C-S$ ta có:$\frac{3}{ab+bc+ac}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1,5}{ab+bc+ac}+\frac{1.5}{ab+bc+ac}\geq \frac{(\sqrt{2}+2\sqrt{1,5})^2}{(a+b+c)^2}=(\sqrt{2}+2\sqrt{1,5})^2> 14$
3)Mình nghĩ phải là $a+b\leq 1$
Áp dụng BĐT $C-S$ ta có:$B\geq \frac{(1+1)^2}{(a+b)^2}=4$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 12-07-2015 - 21:39
- I Love MC, hoctrocuaHolmes, Hoang Nhat Tuan và 1 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 12-07-2015 - 21:35
Bài 2:$\frac{6}{2(ab+bc+ca)}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}\geq \frac{2(\sqrt{3}+1)^2}{1}>14$
Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz
- I Love MC và Quoc Tuan Qbdh thích
#5
Đã gửi 12-07-2015 - 23:48
1) Cho $a,b,c$ dương $ab+bc+ac=abc$ . C/m :
$\sum \frac{1}{a+2b+3c}<\frac{3}{16}$
2) Cho $a,b,c$ dương. $a+b+c=1$. C/m : $\frac{3}{ab+bc+ac}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}>14$
3) Tìm Min biết $a,b$ dương $a+b \ge 1$ . $B=\frac{1}{a^2+ab}+\frac{1}{b^2+ab}$
2)-Ta có: \[ab + bc + ca \le \frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{3} = \frac{1}{3} = > \frac{1}{{ab + bc + ca}} \ge 3(1).\]
-Và có: \[\frac{1}{{ab + bc + ca}} + \frac{1}{{ab + bc + ca}} + \frac{2}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} \ge \frac{{{{(1 + 1 + \sqrt 2 )}^2}}}{{{{(a + b + c)}^2}}} = 6 + 4\sqrt 2 (2).\]
-Từ (1);(2) => \[\frac{3}{{ab + bc + ca}} + \frac{2}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\]\[ \ge 3 + 6 + 4\sqrt 2 > 14\].
=> đpcm.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh