Đến nội dung

Hình ảnh

$ \sum \frac{1}{a+2b+3c}<\frac{3}{16}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

1) Cho $a,b,c$ dương $ab+bc+ac=abc$ . C/m : 
$\sum \frac{1}{a+2b+3c}<\frac{3}{16}$ 
2) Cho $a,b,c$ dương. $a+b+c=1$. C/m :  $\frac{3}{ab+bc+ac}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}>14$ 
3) Tìm Min biết $a,b$ dương $a+b \ge 1$ . $B=\frac{1}{a^2+ab}+\frac{1}{b^2+ab}$



#2
Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết

Từ giả thết rút ra được: $\sum \frac{1}{a}=1$

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz:

$\sum (\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c})\geq \sum \frac{36}{a+2b+3c}$

Do đó:$\sum \frac{1}{a+2b+3c}\leq \frac{1}{6}<\frac{3}{16}$


Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#3
Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết

1) Cho $a,b,c$ dương $ab+bc+ac=abc$ . C/m : 
$\sum \frac{1}{a+2b+3c}<\frac{3}{16}$ 
2) Cho $a,b,c$ dương. $a+b+c=1$. C/m :  $\frac{3}{ab+bc+ac}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}>14$ 
3) Tìm Min biết $a,b$ dương $a+b \ge 1$ . $B=\frac{1}{a^2+ab}+\frac{1}{b^2+ab}$

1)Từ GT ta có:$\sum \frac{1}{a}=1$

$\sum \frac{1}{a+2b+3c}=\sum \frac{1}{a+b+b+c+2c}\leq \sum \frac{1}{9}\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2c} \right )\leq \sum \frac{1}{9}\left [ \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right ) +\frac{1}{4}\left ( \frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )+\frac{1}{2c}\right ]= \frac{1}{6}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )=\frac{1}{6}$

2)Áp dụng BĐT $C-S$ ta có:$\frac{3}{ab+bc+ac}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1,5}{ab+bc+ac}+\frac{1.5}{ab+bc+ac}\geq \frac{(\sqrt{2}+2\sqrt{1,5})^2}{(a+b+c)^2}=(\sqrt{2}+2\sqrt{1,5})^2> 14$

3)Mình nghĩ phải là $a+b\leq 1$

Áp dụng BĐT $C-S$ ta có:$B\geq \frac{(1+1)^2}{(a+b)^2}=4$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 12-07-2015 - 21:39


#4
Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết

Bài 2:$\frac{6}{2(ab+bc+ca)}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}\geq \frac{2(\sqrt{3}+1)^2}{1}>14$

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz


Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#5
Phung Quang Minh

Phung Quang Minh

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 359 Bài viết

 

 

1) Cho $a,b,c$ dương $ab+bc+ac=abc$ . C/m : 
$\sum \frac{1}{a+2b+3c}<\frac{3}{16}$ 
2) Cho $a,b,c$ dương. $a+b+c=1$. C/m :  $\frac{3}{ab+bc+ac}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}>14$ 
3) Tìm Min biết $a,b$ dương $a+b \ge 1$ . $B=\frac{1}{a^2+ab}+\frac{1}{b^2+ab}$

2)-Ta có: \[ab + bc + ca \le \frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{3} = \frac{1}{3} =  > \frac{1}{{ab + bc + ca}} \ge 3(1).\]

-Và có: \[\frac{1}{{ab + bc + ca}} + \frac{1}{{ab + bc + ca}} + \frac{2}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} \ge \frac{{{{(1 + 1 + \sqrt 2 )}^2}}}{{{{(a + b + c)}^2}}} = 6 + 4\sqrt 2 (2).\]

-Từ (1);(2) => \[\frac{3}{{ab + bc + ca}} + \frac{2}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\]\[ \ge 3 + 6 + 4\sqrt 2  > 14\].

=> đpcm.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh