Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$n^2+2^n\vdots 2p$

số học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Belphegor Varia

Belphegor Varia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Ninh Binh
  • Sở thích:Number theory , Geometry

Đã gửi 13-07-2015 - 08:43

$\texttt{Bài toán}$ Cho $p$ là số nguyên tố có dạng $p=4k+1$. Hỏi có tồn tại hay không số tự nhiên $n$ sao cho $n^2+2^n\vdots 2p$


$ \textbf{NMQ}$

Wait a minute, You have enough time. Also tomorrow will come 

Just take off her or give me a ride 

Give me one day or one hour or just one minute for a short word 

 


#2 ZzNightWalkerZz

ZzNightWalkerZz

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 159 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\text{Ɲιgнтмαяє}}$
  • Sở thích:$\blacklozenge\boxed{\text{GodOfCarnage}}\blacklozenge$

Đã gửi 15-07-2015 - 20:51

$\texttt{Bài toán}$ Cho $p$ là số nguyên tố có dạng $p=4k+1$. Hỏi có tồn tại hay không số tự nhiên $n$ sao cho $n^2+2^n\vdots 2p$

 

Gợi ý


.

Reaper

.

.

The god of carnage


#3 Belphegor Varia

Belphegor Varia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Ninh Binh
  • Sở thích:Number theory , Geometry

Đã gửi 16-07-2015 - 08:59

Gợi ý

Rất hay  :icon6: 

Bài này còn có thể làm như thế này : 

$\texttt{Solution}$

Do $p=4k+1$ nên ta có

     $4k\equiv -1(\mod p)$

     $4k-1\equiv -2(\mod p)$

     $4k-2\equiv -3(\mod p)$

     $....$

     $2k+1\equiv -2k(\mod p)$

Suy ra $(2k+1)(2k+2)...(4k)\equiv (2k)!$

$\Rightarrow (4k)!\equiv [(2k)!]^2$

Vì $p$ nguyên tố nên theo Willson ta có : $(4k)!\equiv -1(\mod p)$

Suy ra $[(2k)!]^2+1\equiv 0(\mod p)$

Xét số $n=4k(2k)!$ . Khi đó theo định lý Fermat nhỏ ta có: $2^n-1= [2^{(2k)!}]^{4k}-1=[2^{(2k)!}]^{p-1}-1\equiv 0(\mod p)$

Xét tổng : $n^2+2^n=[4k(2k)!]^2+1\equiv (4k)^2[(2k)!^2+1]-[(4k)^2-1]\equiv 0(\mod p)$

Lại có $n^2+2^n\equiv 0(\mod 2)$ và $(2,p)$=1

Suy ra $n^2+2^n\vdots 2p$

Vậy tồn tại $n$ để  $n^2+2^n\vdots 2p$  $\square$


$ \textbf{NMQ}$

Wait a minute, You have enough time. Also tomorrow will come 

Just take off her or give me a ride 

Give me one day or one hour or just one minute for a short word 

 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh