$\texttt{Bài toán}$ Cho $p$ là số nguyên tố có dạng $p=4k+1$. Hỏi có tồn tại hay không số tự nhiên $n$ sao cho $n^2+2^n\vdots 2p$
#1
Đã gửi 13-07-2015 - 08:43
- Zaraki, nhungvienkimcuong, ZzNightWalkerZz và 1 người khác yêu thích
$ \textbf{NMQ}$
Wait a minute, You have enough time. Also tomorrow will come
Just take off her or give me a ride
Give me one day or one hour or just one minute for a short word
#2
Đã gửi 15-07-2015 - 20:51
$\texttt{Bài toán}$ Cho $p$ là số nguyên tố có dạng $p=4k+1$. Hỏi có tồn tại hay không số tự nhiên $n$ sao cho $n^2+2^n\vdots 2p$
- Zaraki, Belphegor Varia, nhungvienkimcuong và 1 người khác yêu thích
.
Reaper
.
.
The god of carnage
#3
Đã gửi 16-07-2015 - 08:59
Gợi ý
Rất hay
Bài này còn có thể làm như thế này :
$\texttt{Solution}$
Do $p=4k+1$ nên ta có
$4k\equiv -1(\mod p)$
$4k-1\equiv -2(\mod p)$
$4k-2\equiv -3(\mod p)$
$....$
$2k+1\equiv -2k(\mod p)$
Suy ra $(2k+1)(2k+2)...(4k)\equiv (2k)!$
$\Rightarrow (4k)!\equiv [(2k)!]^2$
Vì $p$ nguyên tố nên theo Willson ta có : $(4k)!\equiv -1(\mod p)$
Suy ra $[(2k)!]^2+1\equiv 0(\mod p)$
Xét số $n=4k(2k)!$ . Khi đó theo định lý Fermat nhỏ ta có: $2^n-1= [2^{(2k)!}]^{4k}-1=[2^{(2k)!}]^{p-1}-1\equiv 0(\mod p)$
Xét tổng : $n^2+2^n=[4k(2k)!]^2+1\equiv (4k)^2[(2k)!^2+1]-[(4k)^2-1]\equiv 0(\mod p)$
Lại có $n^2+2^n\equiv 0(\mod 2)$ và $(2,p)$=1
Suy ra $n^2+2^n\vdots 2p$
Vậy tồn tại $n$ để $n^2+2^n\vdots 2p$ $\square$
- Zaraki, nhungvienkimcuong, ZzNightWalkerZz và 1 người khác yêu thích
$ \textbf{NMQ}$
Wait a minute, You have enough time. Also tomorrow will come
Just take off her or give me a ride
Give me one day or one hour or just one minute for a short word
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh rằng $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 số học |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx)$ là số chính phươngBắt đầu bởi Chuongn1312, 13-03-2024 toán olympic, số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\sum_{n\vdots d,d=2k+1}\varphi (d)2^{\frac{n}{d}} \hspace{0.2cm} \vdots \hspace{0.2cm} n$Bắt đầu bởi hovutenha, 08-03-2024 tổ hợp, số học |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$f(a)-f(b) \vdots a-b$Bắt đầu bởi Sa is very stupid and lazy, 17-01-2024 số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$x^n+n \vdots p^m$Bắt đầu bởi trinhgiahuy2008, 15-01-2024 số học |
|
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh