Đến nội dung

Hình ảnh

$n^2+2^n\vdots 2p$

- - - - - số học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Belphegor Varia

Belphegor Varia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

$\texttt{Bài toán}$ Cho $p$ là số nguyên tố có dạng $p=4k+1$. Hỏi có tồn tại hay không số tự nhiên $n$ sao cho $n^2+2^n\vdots 2p$


$ \textbf{NMQ}$

Wait a minute, You have enough time. Also tomorrow will come 

Just take off her or give me a ride 

Give me one day or one hour or just one minute for a short word 

 


#2
ZzNightWalkerZz

ZzNightWalkerZz

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 159 Bài viết

$\texttt{Bài toán}$ Cho $p$ là số nguyên tố có dạng $p=4k+1$. Hỏi có tồn tại hay không số tự nhiên $n$ sao cho $n^2+2^n\vdots 2p$

 

Gợi ý


.

Reaper

.

.

The god of carnage


#3
Belphegor Varia

Belphegor Varia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Gợi ý

Rất hay  :icon6: 

Bài này còn có thể làm như thế này : 

$\texttt{Solution}$

Do $p=4k+1$ nên ta có

     $4k\equiv -1(\mod p)$

     $4k-1\equiv -2(\mod p)$

     $4k-2\equiv -3(\mod p)$

     $....$

     $2k+1\equiv -2k(\mod p)$

Suy ra $(2k+1)(2k+2)...(4k)\equiv (2k)!$

$\Rightarrow (4k)!\equiv [(2k)!]^2$

Vì $p$ nguyên tố nên theo Willson ta có : $(4k)!\equiv -1(\mod p)$

Suy ra $[(2k)!]^2+1\equiv 0(\mod p)$

Xét số $n=4k(2k)!$ . Khi đó theo định lý Fermat nhỏ ta có: $2^n-1= [2^{(2k)!}]^{4k}-1=[2^{(2k)!}]^{p-1}-1\equiv 0(\mod p)$

Xét tổng : $n^2+2^n=[4k(2k)!]^2+1\equiv (4k)^2[(2k)!^2+1]-[(4k)^2-1]\equiv 0(\mod p)$

Lại có $n^2+2^n\equiv 0(\mod 2)$ và $(2,p)$=1

Suy ra $n^2+2^n\vdots 2p$

Vậy tồn tại $n$ để  $n^2+2^n\vdots 2p$  $\square$


$ \textbf{NMQ}$

Wait a minute, You have enough time. Also tomorrow will come 

Just take off her or give me a ride 

Give me one day or one hour or just one minute for a short word 

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh