Đề bài không thiếu dữ kiện $a_{0}$ mà thiếu dữ kiện $n$. Ví dụ $x + 1$ có nghiệm hữu tỷ nhé. Đề bài đúng là $n \ge 2$. Và dữ kiện $a_{0}$ thật sự không cần thiết vì nếu $a_{0} = 0$ ta suy ra ngay luôn $\overline{a_{n}a_{n - 1}\cdots 0} \vdots 10$ không là số nguyên tố.
Mình giải 1 lần trên AoPS rồi. Mình có tổng quát nhưng lười tìm lại link quá, sẽ giải TH cơ số 10 ở đây.
Giả sử ngược lại là $P(x) = a_{n}x^{n} + \cdots + a_{0}$ có nghiệm hữu tỷ. Nghĩa là $P(x) = (ax - b).Q(x)$ với $a \in \mathbb{Z}^{+}, b \in \mathbb{Z}$, $\text{gcd}(a, b) = 1$.
Để ý là theo bổ đề Bezout ta sẽ có $a\mid a_{n}$ và $b\mid a_{0}$ nên $0 \le a, b \le 9$
Thực hiện phép chia đa thức ta sẽ thu được $Q(x) \in \mathbb{Z}[x]$
Nhận xét: nếu $b$ không âm thì $P(x)$ sẽ có nghiệm hữu tỷ không âm, điều này là vô lí do các hệ số của ta đều không âm. Do đó $b < 0$. Thay $-b = c$ với $c > 0$ cho thuận tiện, ta có $P(x) = (ax + c).Q(x)$ với $a, c \in \mathbb{Z}^{+}$
Ta có $p = P(10) = (10a + c).Q(10)$. Do $10a + c > 1$ và $p \in \mathbb{P}$ nên $10a + c = p$ và $Q(10) = 1$
Do $0 \le a, c \le 9$ nên $10a + c$ là biểu diễn của $p$ trong cơ số $10$ (đây là biểu diễn duy nhất) nên từ đó ta suy ra $P(x)$ bậc $1$. Vô lí.