Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh phương trình $\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=0$ không có nghiệm hữu tỉ

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
shinichikudo201

shinichikudo201

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 521 Bài viết

Cho số nguyên tố $\overline{a_{0}a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}}$ ($a_{0}\neq 0; 0\leq a_{i}\leq 9, i= \overline{0, n}$)

Chứng minh rằng phương trình $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}=0$ không có nghiệm hữu tỉ.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichikudo201: 14-07-2015 - 20:32

It is the quality of one's convictions that determines successnot the number of followers


#2
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Nếu chứng minh được cái sau thì bài này giải xong:

Cho đa thức $P(x)\in \mathbb{Z}[x]$ sao cho $P(x)$ có nghiệm hữu tỉ. Chứng minh $P(x)$ khả quy trên $\mathbb{Z}[x]$

Em giải hoài không ra.


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#3
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Cho số nguyên tố $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}}$ ($a_{1}\neq 0; 0\leq a_{i}\leq 9, i= \overline{1, n}$)

Chứng minh rằng phương trình $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}=0$ không có nghiệm hữu tỉ.

Đề bài thiếu điều kiện về $a_0$ thì phải ?


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#4
Ego

Ego

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 296 Bài viết

Đề bài không thiếu dữ kiện $a_{0}$ mà thiếu dữ kiện $n$. Ví dụ $x + 1$ có nghiệm hữu tỷ nhé. Đề bài đúng là $n \ge 2$. Và dữ kiện $a_{0}$ thật sự không cần thiết vì nếu $a_{0} = 0$ ta suy ra ngay luôn $\overline{a_{n}a_{n - 1}\cdots 0} \vdots 10$ không là số nguyên tố.
Mình giải 1 lần trên AoPS rồi. Mình có tổng quát nhưng lười tìm lại link quá, sẽ giải TH cơ số 10 ở đây.
Giả sử ngược lại là $P(x) = a_{n}x^{n} + \cdots + a_{0}$ có nghiệm hữu tỷ. Nghĩa là $P(x) = (ax - b).Q(x)$ với $a \in \mathbb{Z}^{+}, b \in \mathbb{Z}$, $\text{gcd}(a, b) = 1$.
Để ý là theo bổ đề Bezout ta sẽ có $a\mid a_{n}$ và $b\mid a_{0}$ nên $0 \le a, b \le 9$
Thực hiện phép chia đa thức ta sẽ thu được $Q(x) \in \mathbb{Z}[x]$
Nhận xét: nếu $b$ không âm thì $P(x)$ sẽ có nghiệm hữu tỷ không âm, điều này là vô lí do các hệ số của ta đều không âm. Do đó $b < 0$. Thay $-b = c$ với $c > 0$ cho thuận tiện, ta có $P(x) = (ax + c).Q(x)$ với $a, c \in \mathbb{Z}^{+}$
Ta có $p = P(10) = (10a + c).Q(10)$. Do $10a + c > 1$ và $p \in \mathbb{P}$ nên $10a + c = p$ và $Q(10) = 1$
Do $0 \le a, c \le 9$ nên $10a + c$ là biểu diễn của $p$ trong cơ số $10$ (đây là biểu diễn duy nhất) nên từ đó ta suy ra $P(x)$ bậc $1$. Vô lí.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh