2)cho tam giác ABC cân A có các đường cao AH, BK.
CMR $$\frac{1}{BK^2}-\frac{1}{BC^2}=\frac{1}{4AH^2}$$
Cách 1:
Ta có: $\frac{1}{BK^2}=\frac{1}{BP^2}+\frac{1}{BC^2}$
Ta cần chứng minh $\frac{1}{BC^2}=\frac{1}{4AH^2}$ (Đúng do $AH=\frac{1}{2}BP$ )
$\Rightarrow \frac{1}{BK^2}=\frac{1}{BC^2}+\frac{1}{4AH^2}$
Cách 2
Ta cần chứng minh $\frac{BK^2}{BC^2}+\frac{BK^2}{4AH^2}=1$
Ta có tam giác $AHC$ đồng dạng với $BKC$ (g.g)
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{BK}{BC}=\frac{AH}{AC} & & \\ \frac{BK}{AH}=\frac{BC}{AC} & & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow (\frac{BK}{BC})^2+(\frac{BK}{2AH})^2=(\frac{AH}{AC})^2+(\frac{BC}{2AC})^2=\frac{AH^2+HC^2}{AC^2}=1$
Ta có ĐPCM
Cách 3: Gọi $I$ là trung điểm $KC$
Xét tam gáic vuông $AHC$ ta có :
$\frac{1}{HI^2}=\frac{1}{HA^2}+\frac{1}{HC^2}(1)$
$HI$ là đường trung bình tam giác $CBK$ nên $HI=\frac{BK}{2}(2)$
$HC=\frac{BC}{2}(3)$
Từ $(1),(2),(3)$ suy ra
$\frac{1}{\frac{BK^2}{4}}=\frac{1}{\frac{BC^2}{4}}+\frac{1}{HA^2}\Rightarrow \frac{1}{BK^2}=\frac{1}{BC^2}+\frac{1}{4AH^2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 14-07-2013 - 15:47
Học gõ công thức toán học tại đây
Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây
Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây
--------------------------------------------------------------