Chủ đề này có 1 trả lời

[Quoc Tuan Qbdh]

Tìm tất cả mọi số thực $n$ sao cho bất đẳng thức :

$\sum \frac{1}{a^{n}(b+c)} \geq \frac{3}{2}$

đúng với bộ $3$ số dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$

[NMDuc98]

Tìm tất cả mọi số thực $n$ sao cho bất đẳng thức :

$\sum \frac{1}{a^{n}(b+c)} \geq \frac{3}{2}$

đúng với bộ $3$ số dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$

Hướng Giải:

Trường hợp 1: Xét $n \ge 2$:

Giả sử $a \le b \le c$. Đặt: $a=\frac{1}{x},~b=\frac{1}{y},~c=\frac{1}{z}$. Khi đó $x,y,z>0$ thỏa $xyz=1$.

Khi đó BĐT đã cho trở thành:

$$\sum \frac{x^{n-1}}{y+z}\ge \frac{3}{2}~~~(1)$$

Với giả sử trên dễ thấy $(1)$ đúng theo BĐT Trê-bư-sép, AM-GM và Nesbit.

Vậy $n \ge 2$ thỏa mãn.

Trường hợp 2: Xét $n \le -1$. Đặt $m=1-n \ge 2$.

Dựa vào Trường hợp 1. Thay $n$ bởi $m$ (các biến đang là $x,y,z$) và biến đổi tương đương về các biến $a,b,c$ sẽ được BĐT đã cho.

Vậy $n \le -1$ cũng thỏa mãn.

Trường hơp 3: Xét các dãy số $(a_t)=t,~(b_t)=t$ và $(c_t)=\frac{1}{t^2}$ với $t \in \mathbb{N}^*$.

Khi đó với: $$S_t=\sum \frac{1}{a_t^n(b_t+c_t)}=\frac{2t^{2-n}}{t^3+1}+\frac{t^{2n-1}}{2}$$ 

*) Xét $-1 < n \le \frac{1}{2}$: $\lim_{t\rightarrow \propto}S_t=0$. Suy ra với $-1 < n <\frac{1}{2}$ không thỏa mãn.

Trường hợp 4: Xét các dãy số $(a_t)=\frac{1}{t} ,~(b_t)=\frac{1}{t}$ và $(c_t)=t^2$ với $t \in \mathbb{N}^*$.

Xét $\frac{1}{2}<n<2$ tương tự TH3 thì trường hợp này cũng không thỏa.

Kết luận

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NMDuc98: 14-07-2015 - 08:14