Cho a,b,c là số thực dương CMR:
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-3\geqslant 2(\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}-1)$
Ta có $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}=3\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-3\geq 0$.Như vậy,ta cần cm $2(\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}-1)\leq 0$.Thật vậy ,$2(\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}-1)\leq 2(\frac{ab+bc+ca}{ab+bc+ca}-1)=2(1-1)=0(đpcm)$