Chủ đề này có 6 trả lời

[Capture]

Cho a, b, c là các số thực thay đổi trong khoảng [1;2]

CMR: $a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 5abc$

[hoctrocuaZel]

Cho a, b, c là các số thực thay đổi trong khoảng [1;2]

CMR: $a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 5abc$

$a\geqslant b\geqslant c\Rightarrow 2c\geqslant a\geqslant b\geqslant c=>LHS\leqslant 2ca^2+b^3+c^3-5abc\leqslant 0$

Cố định $b,c$ . $f(a)$ là tam thức bậc 2 vs hệ số cao nhất dương và $a\in [b;2c]\Rightarrow f(b)=b^2(b-2c)+c(c^2-b^2)\leqslant 0;f(2c)=-3c^2(b-c)\leqslant 0$

[NhatTruong2405]

Cho a, b, c là các số thực thay đổi trong khoảng [1;2]

CMR: $a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 5abc$

Do $a\epsilon [1;2]$ 

Ta co $(a-1)(a-2)(a+3)\leq 3$ $\Rightarrow a^3\leq 7a-6$

C/mtt: $\sum a^3\leq 7(\sum a)-18$

Ta can c/m $5abc-7(a+b+c)+18\geq 0(1)$

Ta co $(b-1)(c-1)\geq 0$ $\Rightarrow bc\geq b+c-1$

The vao (1),ta co $(b+c)(5a-7)-12a+18\geq 0$

Gia su $a=max{a,b,c}$

Neu $\frac{7}{5}\leq a\leq 2$ $\Rightarrow VT\geq 2(5a-7)-12a+18=4-2a\geq 4-2.2=0$

Neu $1\leq a\leq \frac{7}{5}$ $\Rightarrow VT\geq 2a(5a-7)-12a+18=10a^2-26a+18>0$

BDT duoc chung minh

$a\geqslant b\geqslant c\Rightarrow 2c\geqslant a\geqslant b\geqslant c=>LHS\leqslant 2ca^2+b^3+c^3-5abc\leqslant 0$

Cố định $b,c$ . $f(a)$ là tam thức bậc 2 vs hệ số cao nhất dương và $a\in [b;2c]\Rightarrow f(b)=b^2(b-2c)+c(c^2-b^2)\leqslant 0;f(2c)=-3c^2(b-c)\leqslant 0$

Cách làm của anh giống như trong báo TH&TT quá Anh có thể cho em thêm nhiều ví dụ như vậy được không Em cảm ơn ạ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NhatTruong2405: 14-07-2015 - 22:34

[Hoang Nhat Tuan]

Do $a\epsilon [1;2]$ 

Ta co $(a-1)(a-2)(a+3)\leq 3$ $\Rightarrow a^3\leq 7a-6$

C/mtt: $\sum a^3\leq 7(\sum a)-18$

Ta can c/m $5abc-7(a+b+c)+18\geq 0(1)$

Ta co $(b-1)(c-1)\geq 0$ $\Rightarrow bc\geq b+c-1$

The vao (1),ta co $(b+c)(5a-7)-12a+18\geq 0$

Gia su $a=max{a,b,c}$

Neu $\frac{7}{5}\leq a\leq 2$ $\Rightarrow VT\geq 2(5a-7)-12a+18=4-2a\geq 4-2.2=0$

Neu $1\leq a\leq \frac{7}{5}$ $\Rightarrow VT\geq 2a(5a-7)-12a+18=10a^2-26a+18>0$

BDT duoc chung minh

Cách làm của anh giống như trong báo TH&TT quá Anh có thể cho em thêm nhiều ví dụ như vậy được không Em cảm ơn ạ

Thử thế này xem:

Xét hàm số: $f(a)=a^3-5abc+b^3+c^3$

$=>f'(a)=3a^2-5bc$

Tìm được 2 nghiệm là: $a_1=\frac{\sqrt{5}bc}{\sqrt{3}}$

$a_2=\frac{-\sqrt{5}bc}{\sqrt{3}}$

Từ đó loại $a_2$, lập bảng biến thiên với $a_1\epsilon \left [ 1,2 \right ]$

Khi đó thì Max f(a)= Max {f(1),f(2)}

Ta có: $f(a)=f(1)=b^3+c^3-5bc+1=f(b)$

Ta có: $f'(b)=3b^2-5c$

Có 2 nghiệm là: $b_1=\frac{\sqrt{5}c}{\sqrt{3}}$

Và $b_2=\frac{-\sqrt{5}c}{\sqrt{3}}$

Từ đó cũng lập bảng biến thiên ra được:

Max f(b)=Max {f(1),f(2)}

TH1: $f(b)=f(1)=c^3-5c+2$

Hiển nhiên $f(1) \leq 0$ vì $(c-2)(c^2+2c-1)\leq 0$ theo giả thiết

TH2: $f(b)=f(2)=c^3-10c+9$ ta cũng dễ dàng chứng minh $\leq 0$

Trường hợp: $f(a)=f(2)$ làm tương tự 

Spoiler

Đương nhiên là dài hơn cách của Hướng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 14-07-2015 - 23:00

[hoanglong2k]

Cho a, b, c là các số thực thay đổi trong khoảng [1;2]

CMR: $a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 5abc$

 Giả sử $a\geq b\geq c$ Ta có :

 $+)~~ a^3-5a+2=(a-2)(a^2+2a-1)\leq 0$

 $+)~~b^3+5a-5ab-1=(b-1)(b^2+b+1-5a)\leq (b-1)(a^2-4a+1)\leq 0$

 $+)~~c^3+5ab-5abc-1=(c-1)(c^2+c+1-5ab)\leq (c-1)(a^2+a+1-5a)\leq 0$

 $\Rightarrow a^3+b^3+c^3\leq 5abc$

 Dấu "=" xảy ra khi có một biến bằng 2, hai biến bằng 1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 14-07-2015 - 23:16

[Capture]

 Giả sử $a\geq b\geq c$ Ta có :

 $+)~~ a^3-5a+2=(a-2)(a^2+2a-1)\leq 0$

 $+)~~b^3+5a-5ab-1=(b-1)(b^2+b+1-5a)\leq (b-1)(a^2-4a+1)\leq 0$

 $+)~~c^3+5ab-5abc+1=(c-1)(c^2+c+1-5ab)\leq (c-1)(a^2+a+1-5a)\leq 0$

 $\Rightarrow a^3+b^3+c^3\leq 5abc$

 Dấu "=" xảy ra khi có một biến bằng 2, hai biến bằng 1

-1 chứ

[NhatTruong2405]

Thử thế này xem:

Xét hàm số: $f(a)=a^3-5abc+b^3+c^3$

$=>f'(a)=3a^2-5bc$

Tìm được 2 nghiệm là: $a_1=\frac{\sqrt{5}bc}{\sqrt{3}}$

$a_2=\frac{-\sqrt{5}bc}{\sqrt{3}}$

Từ đó loại $a_2$, lập bảng biến thiên với $a_1\epsilon \left [ 1,2 \right ]$

Khi đó thì Max f(a)= Max {f(1),f(2)}

Ta có: $f(a)=f(1)=b^3+c^3-5bc+1=f(b)$

Ta có: $f'(b)=3b^2-5c$

Có 2 nghiệm là: $b_1=\frac{\sqrt{5}c}{\sqrt{3}}$

Và $b_2=\frac{-\sqrt{5}c}{\sqrt{3}}$

Từ đó cũng lập bảng biến thiên ra được:

Max f(b)=Max {f(1),f(2)}

TH1: $f(b)=f(1)=c^3-5c+2$

Hiển nhiên $f(1) \leq 0$ vì $(c-2)(c^2+2c-1)\leq 0$ theo giả thiết

TH2: $f(b)=f(2)=c^3-10c+9$ ta cũng dễ dàng chứng minh $\leq 0$

Trường hợp: $f(a)=f(2)$ làm tương tự 

Spoiler

Đương nhiên là dài hơn cách của Hướng

Cách của bạn áp dụng đạo hàm rất hay mà 

Spoiler

Sẵn đây có thể cho mình hỏi về kiến thức cận trên nhỏ nhất cận dưới lớn nhất không

Ví dụ như sao có thể nói cận trên nhỏ nhất của  $/frac{a}{b+c}$ là 1 với a,b,c là 3 canh của tam giác vậy.Cũng như sao có thể nói $/frac{a-b}{a+2b+c} có cận dưới lơn nhất là $/frac{1}{2} vậy .Mình đã tìm trên google không ra Xin cảm ơn trước  .Đành phải để trong Spoiler  để khỏi bị nói là spam   

@ Hoang Nhat Tuan: Có gì bạn hỏi qua tin nhắn ấy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 14-07-2015 - 23:18