Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Chứng minh: $\sum \frac{ab}{a^2+ab+b^2} \leqslant \sum \frac{a}{2a+b}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 Nguyen Minh Hai

Nguyen Minh Hai

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{THPT}}$ $ \boxed{\textrm{Chuyên Quốc Học}} $
  • Sở thích:$\star\textrm{Tìm hiểu}\star$
    $\textrm{Văn hóa Nhật Bổn}$

Đã gửi 14-07-2015 - 22:19

Chứng minh rằng với mọi $a,b,c$ dương thì bất đẳng thức sau đúng:

$\sum \frac{ab}{a^2+ab+b^2} \leqslant \sum \frac{a}{2a+b}$



#2 hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Thành viên
  • 965 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 14-07-2015 - 23:45

Chứng minh rằng với mọi $a,b,c$ dương thì bất đẳng thức sau đúng:

$\sum \frac{ab}{a^2+ab+b^2} \leqslant \sum \frac{a}{2a+b}$

 Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có :

 $\sum \frac{a}{2a+b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2\sum a^2+\sum ab}$

 Nên ta cần chứng minh 

 $\frac{(a+b+c)^2}{2\sum a^2+\sum ab}\geq \sum \frac{ab}{a^2+ab+b^2}$

 $\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^2}{2\sum a^2+\sum ab}-1\geq \sum \left ( \frac{ab}{a^2+ab+b^2}-\frac{1}{3} \right )$

 $\Leftrightarrow -\frac{\sum (a-b)^2}{4\sum a^2+2\sum ab}\geq -\sum \frac{(a-b)^2}{3(a^2+ab+b^2)}$

 $\Leftrightarrow \sum (a-b)^2.\left ( \frac{1}{3a^2+3ab+3b^2}-\frac{1}{4\sum a^2+2\sum ab} \right )\geq 0$

 Vì vậy ta chỉ cần chứng minh $4\sum a^2+2\sum ab\geq 3(a^2+b^2+ab)\Leftrightarrow a^2+b^2+4c^2+ac+bc\geq ab$

 Mà theo AM-GM $a^2+b^2+4c^2+ac+bc\geq 2ab+4c^2+ac+bc>ab$

 Nên ta có điều cần chứng minh

 Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$



#3 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1568 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 15-07-2015 - 09:16

 Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có :

 $\sum \frac{a}{2a+b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2\sum a^2+\sum ab}$

 Nên ta cần chứng minh 

 $\frac{(a+b+c)^2}{2\sum a^2+\sum ab}\geq \sum \frac{ab}{a^2+ab+b^2}$

 $\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^2}{2\sum a^2+\sum ab}-1\geq \sum \left ( \frac{ab}{a^2+ab+b^2}-\frac{1}{3} \right )$

 $\Leftrightarrow -\frac{\sum (a-b)^2}{4\sum a^2+2\sum ab}\geq -\sum \frac{(a-b)^2}{3(a^2+ab+b^2)}$

 $\Leftrightarrow \sum (a-b)^2.\left ( \frac{1}{3a^2+3ab+3b^2}-\frac{1}{4\sum a^2+2\sum ab} \right )\geq 0$

 Vì vậy ta chỉ cần chứng minh $4\sum a^2+2\sum ab\geq 3(a^2+b^2+ab)\Leftrightarrow a^2+b^2+4c^2+ac+bc\geq ab$

 Mà theo AM-GM $a^2+b^2+4c^2+ac+bc\geq 2ab+4c^2+ac+bc>ab$

 Nên ta có điều cần chứng minh

 Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

$$\sum \dfrac{2b}{2b+a}=3-\sum \dfrac{a}{2b+a}\leqslant 3-\dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}=2 \\ \Rightarrow  \sum \dfrac{b}{2b+a}\leqslant 1\Rightarrow \sum \dfrac{a}{2a+b}\geqslant \sum \left(\dfrac{a}{2a+b}+\dfrac{b}{2b+a}\right)-1$$

Vậy là ta cần chứng minh:

$$\sum \left(\dfrac{a}{2a+b}+\dfrac{b}{2b+a}\right)\geqslant \sum \dfrac{ab}{a^2+ab+b^2}-1$$

Thấy rằng nó là hệ quả của bất đẳng thức: $$\dfrac{a}{2a+b}+\dfrac{b}{2b+a}\geqslant \dfrac{ab}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow \dfrac{a^2+b^2+4ab}{(2a+b)(2b+a)}\geqslant \dfrac{a^2+b^2+4ab}{3(a^2+ab+b^2)}\Leftrightarrow (a-b)^2\geqslant 0$$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#4 hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Thành viên
  • 965 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 15-07-2015 - 13:22

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

$$\sum \dfrac{2b}{2b+a}=3-\sum \dfrac{a}{2b+a}\leqslant 3-\dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}=2 \\ \Rightarrow  \sum \dfrac{b}{2b+a}\leqslant 1\Rightarrow \sum \dfrac{a}{2a+b}\geqslant \sum \left(\dfrac{a}{2a+b}+\dfrac{b}{2b+a}\right)-1$$

Vậy là ta cần chứng minh:

$$\sum \left(\dfrac{a}{2a+b}+\dfrac{b}{2b+a}\right)\geqslant \sum \dfrac{ab}{a^2+ab+b^2}-1$$

Thấy rằng nó là hệ quả của bất đẳng thức: $$\dfrac{a}{2a+b}+\dfrac{b}{2b+a}\geqslant \dfrac{ab}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow \dfrac{a^2+b^2+4ab}{(2a+b)(2b+a)}\geqslant \dfrac{a^2+b^2+4ab}{3(a^2+ab+b^2)}\Leftrightarrow (a-b)^2\geqslant 0$$

 Ta có :

 $\sum \frac{ab}{a^2+ab+b^2} \leq \sum \frac{a}{2a+b}\Leftrightarrow \sum \frac{1}{\frac{a}{b}+1+\frac{b}{a}}\leq \sum \frac{1}{2+\frac{b}{a}}$

 Đổi biến $\left ( \frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a} \right )=(x,y,z)\rightarrow xyz=1$

 Ta cần chứng minh 

 $\sum \frac{1}{2+yz}\geq \sum \frac{1}{yz+x+1}$

 $\Leftrightarrow \sum \frac{x-1}{(2+yz)(yz+x+1)}\geq 0$

 $\Leftrightarrow \sum \frac{x^2(x-1)}{(2x+1)(x^2+x+1)}\geq 0$

 Ta chứng minh $\sum \frac{x^2(x-1)}{(2x+1)(x^2+x+1)}\geq \sum \frac{x-1}{3(x+2)}$

 $\Leftrightarrow \sum \frac{(x-1)^2(x^2+4x+1)}{(2x+1)(x^2+x+1)(z+2)}\geq 0$

 Nên chỉ việc chỉ ra $\sum \frac{x-1}{x+2}\geq 0\Leftrightarrow \sum \frac{1}{x+2}\leq 1$ 

 Đây là kết quả quen thuộc, biến đổi tương đương hoặc Cauchy-Schwarz



#5 Thao Huyen

Thao Huyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-07-2015 - 14:37

Chứng minh rằng với mọi $a,b,c$ dương thì bất đẳng thức sau đúng:

$\sum \frac{ab}{a^2+ab+b^2} \leqslant \sum \frac{a}{2a+b}$

$\sum (\frac{1}{3}-\frac{ab}{a^2+ab+b^2})+\sum \frac{a}{2a+b}=\sum \frac{(a-b)^2}{3.(a^2+ab+b^2)}+\sum \frac{a^2}{2a^2+ab}\geqslant \frac{\frac{4}{3}.(a-c)^2+(a+b+c)^2}{2.\sum a^2+\sum ab}\leqslant 1(true)$


Cuộc sống giống như một cuốn sách. Một vài chương khá buồn, một số chương hạnh phúc và một số chương rất thú vị. Nhưng nếu bạn chưa bao giờ lật thử một trang bạn sẽ không bao giờ biết những gì ở chương tiếp theo!


#6 Nicky Lazy

Nicky Lazy

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Sài Gòn

Đã gửi 16-12-2015 - 12:10

:wub:  :wub:  :wub:






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh