Đây là Topic dùng để tổng hợp những bài toán BĐT chọn lọc trên VMF,các ĐHV sẽ cập nhật liên tục. Các thành viên muốn xem bài nào thì ấn vào BÀI..., vì đây là topic tổng hợp nên sẽ khóa topic.
BÀI 1 : Với mọi $a,b,c$ dương. CMR:
$$\sum \frac{ab}{a^2+ab+b^2} \leqslant \sum \frac{a}{2a+b}$$
BÀI 2 : Cho các số không âm $a,b,c$ chứng minh rằng
$$ \sum \sqrt{5a^{2}+4bc} \geq \sqrt{3 \sum a^{2}} + 2 \sum \sqrt{ab}$$
BÀI 3 : Cho $a;b;c$ không âm, chứng minh rằng:
$$\sum \sqrt{\frac{a^2+bc}{b^2+bc+c^2}}\ge \sqrt{6}$$
$$\sum \frac{a^2+b^2}{a+b}\geq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)+2abc\sum \frac{b+c-2a}{a(b+c)}}$$
BÀI 5 :Cho $a,b,c>0$ . Chứng minh rằng :
$$\left(\frac{a}{a+b}\right)^{3}+\left(\frac{b}{b+c}\right)^{3}+\left(\frac{c}{c+a}\right)^{3}\leq \frac{3}{8}\left(\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}\right)^{2}$$
BÀI 6 : Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm GTLN của biểu thức:
$$A=\frac{x^2+1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}$$
BÀI 7 : Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:
$$3(a^4+b^4+c^4)+a^2+b^2+c^2+6\geq 6(a^3+b^3+c^3)$$
$$\left(1+\sum a_1\right)^{2} \geq 4\left(\sum a_1^{2}\right)$$
BÀI 9 : Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn : $a+b+c=1$ . Chứng minh rằng :
$$9\sum a^{2}+\frac{\sum ab}{\sum a^{2}b}\geq 6$$
BÀI 10 : Tìm số thực $k$ lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức sau
$$\frac{k}{a^3+b^3}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}\geq \frac{16+4k}{(a+b)^3}$$
BÀI 11 : Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh :
$$8\left (a^3+b^3+c^3\right )+12 \geq (a+b+c)\left [\left (2\sqrt[3]{abc}+1\right )^2+3\right ]$$
$$\frac{11(a+b+c)}{3}\geq 8\sqrt[3]{abc}+3\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 20-07-2015 - 23:30