Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tổng hợp các bài toán bất đẳng thức chọn lọc trên VMF ( đã có lời giải )


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1 ducvipdh12

ducvipdh12

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 454 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị
  • Sở thích:ANIME IS LOVE,ANIME IS LIFE

Đã gửi 15-07-2015 - 11:29

Đây là Topic dùng để tổng hợp những bài toán BĐT chọn lọc trên VMF,các ĐHV sẽ cập nhật liên tục. Các thành viên muốn xem bài nào thì ấn vào BÀI..., vì đây là topic tổng hợp nên sẽ khóa topic.

 

BÀI 1 : Với mọi $a,b,c$ dương. CMR:

$$\sum \frac{ab}{a^2+ab+b^2} \leqslant \sum \frac{a}{2a+b}$$

 

BÀI 2 : Cho các số không âm $a,b,c$ chứng minh rằng

$$ \sum \sqrt{5a^{2}+4bc} \geq \sqrt{3 \sum a^{2}} + 2 \sum \sqrt{ab}$$

 

BÀI 3 : Cho $a;b;c$ không âm, chứng minh rằng:

$$\sum \sqrt{\frac{a^2+bc}{b^2+bc+c^2}}\ge \sqrt{6}$$

 
BÀI 4 : Chứng minh rằng với mọi số thực dương  $a,b,c$  ta luôn có:

$$\sum \frac{a^2+b^2}{a+b}\geq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)+2abc\sum \frac{b+c-2a}{a(b+c)}}$$

 

BÀI 5 :Cho $a,b,c>0$ . Chứng minh rằng : 

$$\left(\frac{a}{a+b}\right)^{3}+\left(\frac{b}{b+c}\right)^{3}+\left(\frac{c}{c+a}\right)^{3}\leq \frac{3}{8}\left(\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}\right)^{2}$$

 

BÀI 6 : Cho các số thực không âm  $a,b,c$  thỏa mãn  $a+b+c=1$. Tìm GTLN của biểu thức:  

$$A=\frac{x^2+1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}$$

 

BÀI 7Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$$3(a^4+b^4+c^4)+a^2+b^2+c^2+6\geq 6(a^3+b^3+c^3)$$

 

BÀI 8 : Cho $a_1;a_2;......;a_n$ thuộc $[0,1]$ . Chứng minh rằng :

$$\left(1+\sum a_1\right)^{2} \geq  4\left(\sum a_1^{2}\right)$$

 

BÀI 9 : Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn : $a+b+c=1$ . Chứng minh rằng : 

$$9\sum a^{2}+\frac{\sum ab}{\sum a^{2}b}\geq 6$$

 

BÀI 10 : Tìm số thực $k$ lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức sau

$$\frac{k}{a^3+b^3}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}\geq \frac{16+4k}{(a+b)^3}$$

 

BÀI 11 : Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh :

$$8\left (a^3+b^3+c^3\right )+12 \geq (a+b+c)\left [\left (2\sqrt[3]{abc}+1\right )^2+3\right ]$$

 
BÀI 12 : Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:
$$\sum \frac{a^2}{(a+b)^2}+\frac{2abc}{\prod (a+b)}\geqslant 1$$
 
BÀI 13 : Cho $a,b,c> 0$ . Tìm Min của 
$$P=\sqrt{1+\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}$$
 
BÀI 14 : Chứng minh bất đẳng thức sau với các số thực dương $a,b,c$ :

$$\frac{11(a+b+c)}{3}\geq 8\sqrt[3]{abc}+3\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 20-07-2015 - 23:30

FAN THẦY THÔNG,ANH CẨN,THẦY VINH :icon6: :icon6:

#2 ducvipdh12

ducvipdh12

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 454 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị
  • Sở thích:ANIME IS LOVE,ANIME IS LIFE

Đã gửi 20-07-2015 - 20:47

BÀI 15 : Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thõa mãn $a^2+b^2+c^2=1$.
Chứng minh rằng
$$\frac{1}{1-a^2}+\frac{1}{1-b^2}+\frac{1}{1-c^2}+\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}\geq 9$$
BÀI 16 : 1) Cho $a,b,c$ thực dương thỏa $a+b+c=1$. Chứng minh
$$\sum \sqrt{\frac{a^2+2ab}{b^2+2c^2}}\geq \frac{1}{a^2+b^2+c^2}$$
2) Cho $a,b,c$ thực dương thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh
$$\sum \frac{a}{b^3+ab}\geq 3$$

BÀI 17 : Cho các số thực dương $a,b,c$ . Chứng minh rằng :
$$3(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\geq (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ac+a^2)\geq 3(ab+bc+ca)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$$

BÀI 18 : Cho $a, b, c >0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3a^2b^2c^2$. Chứng minh rằng:
$$ab+bc+ca-abc\geq 2$$

BÀI 19 : Cho các số thực dương $a,b,c$ .Chứng minh rằng:
$$\sqrt[8]{\frac{a^8+b^8}{2}}+\sqrt[8]{\frac{b^8+c^8}{2}}+\sqrt[8]{\frac{c^8+a^8}{2}}\leq (a+b+c)^{10}(\frac{1}{9a}+\frac{1}{9b}+\frac{1}{9c})^9$$

BÀI 20 : Cho $a,b,c$ là các số thực không âm, không có 2 số nào đồng thời bằng không.Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}\geq \frac{10}{(a+b+c)^2}+\frac{28abc(a+b+c)}{27(a^2+b^2)(b^2+c^2)(a^2+c^2)}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 24-07-2015 - 14:07

FAN THẦY THÔNG,ANH CẨN,THẦY VINH :icon6: :icon6:

#3 hungchng

hungchng

    Sĩ quan

  • Điều hành viên
  • 337 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-07-2015 - 21:34

Hè rảnh tôi sẽ tổng hợp thành file pdf bằng latex online tại đây gồm 100 bài

https://www.overleaf...ad/tzktdznkpztz

Số lời giải mới tới 20 và sẽ cập nhật dần


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hungchng: 13-08-2015 - 20:57

Hình đã gửi

#4 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 23-07-2015 - 07:06

$\boxed{21}$
Cho $a,b,c$ là độ dài $3$ cạnh tam giác. Chứng minh rằng:
$$\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \geq (a-b+c)(a+b-c)+(-a+b+c)(a+b-c)+(-a+b+c)(a-b+c) $$
$\boxed{22}$
Chứng minh bất dẳng thức này đúng với mọi tam giác $ABC:$
$$2\sqrt{2}\left ( \sin \dfrac{A}{2}+\sin \dfrac{B}{2}+\sin \dfrac{C}{2} \right )> \cos \dfrac{A-B}{\sqrt{15}}+\cos \dfrac{B-C}{\sqrt{15}}+\cos \dfrac{C-A}{\sqrt{15}}$$
$\boxed{23}$
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh:
$$\sqrt{\dfrac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{a+bc}}+\sqrt{\dfrac{c+a}{b+ca}}\geq 3$$
$\boxed{24}$
Tìm $GTLN$ của biểu thức
\[ f(x;y) =\dfrac{{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{\left({a-x}\right)^{2}+y^{2}}}}{{\sqrt{x^{2}+y^{2}+b^{2}}}} \]
trong đó $a, b$ là các hằng số còn $x, y$ là các ẩn
$\boxed{25}$
Cho $x,y$ thỏa $0 \le xy <1$.Chứng minh rằng:
$$\left(\dfrac{2x}{1+x^2} \right)^2+\left(\dfrac{2y}{1+y^2} \right)^2 \le \dfrac{1}{1-xy}$$

$\boxed{26}$

Cho $a,b,c$ là $3$ cạnh tam giác, $abc=1$.
Tìm $Min$ của biểu thức:
$$c(a+b-c)^3+a(b+c-a)^3+b(c+a-b)^3$$

$\boxed{27}$

Chứng minh rằng $$\frac{a^2}{ \sqrt{b^3+8}}+ \frac{b^2}{ \sqrt{c^3+8}}+ \frac{c^2}{ \sqrt{a^3+8}} \le 1$$
Với $a,b,c>0,$ và $a^3+b^3+c^3=3$

 

$\boxed{28}$

Cho các số dương $a, b, c$ thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2 \le 3$ . Chứng minh rằng :

$$\dfrac{1 + ab}{c^2 + ab} + \dfrac{1 + bc}{a^2 + bc} + \dfrac{1 + ac}{b^2 + ac} \ge 3$$

$\boxed{29}$

Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $ab+bc+ca=abc$. CMR

$$\frac{a^{4}+b^{4}}{ab(a^{3}+b^{3})} + \frac{b^{4}+c^{4}}{bc(b^{3}+c^{3})} + \frac{c^{4}+a^{4}}{ca(c^{3}+a^{3})}\geq 1$$

$\boxed{30}$

Cho $x, y, z$ là các số dương. CMR:

$$\frac{\left( x+1 \right){{\left( y+1 \right)}^{2}}}{3\sqrt[3]{{{z}^{2}}{{x}^{2}}}+1}+\frac{\left( y+1 \right){{\left( z+1 \right)}^{2}}}{3\sqrt[3]{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}+1}+\frac{\left( z+1 \right){{\left( x+1 \right)}^{2}}}{3\sqrt[3]{{{y}^{2}}{{z}^{2}}}+1}\ge x+y+z+3$$

$\boxed{31}$

Cho các số $a,b,c$ thực dương. Chứng minh rằng $$\frac{a^2+ab+2b^2}{b^2+2ab}+\frac{b^2+2c^2+bc}{c^2+2bc}+\frac{c^2+2a^2+ac}{a^2+2ac}\geq \frac{36(ab+bc+ac)}{(2+a^2)(2+b^2)(2+c^2)}$$

$\boxed{32}$

$a, b, c$ là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức
\[{({a^2}b + {b^2}a + {a^2}c + {c^2}a + {b^2}c + {c^2}b)^2} \ge 4(ab + bc + ba)({a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {b^2}{a^2})\]

$\boxed{33}$

Cho $a,b,c \ge 0$ thỏa mãn:$\left\{\begin{matrix} (a+b)(b+c)(c+a)>0 \\ a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ca) \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng:
$$\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}}+\sqrt{\frac{bc}{b^2+c^2}}+\sqrt{\frac{ca}{c^2+a^2}} \ge \frac{1}{\sqrt{2}}$$

$\boxed{34}$

Cho $3$ số $a,b,c$ dương,thỏa mãn:$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

CMR:

$$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}\geq \frac{3\sqrt{3}+9}{2}$$

$\boxed{35}$

Cho $a,b,c>0$ Chứng minh:
$$3*\sqrt[9]{\dfrac{9a(a+b)}{2(a+b+c)^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{6bc}{(a+b)(a+b+c)}}\leq4$$

_____________

Tổng hợp từ trang $200 \rightarrow 198$ tại $Box$ $THPT$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 23-07-2015 - 14:25

$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#5 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 23-07-2015 - 14:24

$\boxed{36}$

Cho $a,b,c$ là những số thực dương . Chứng minh rằng: $$\dfrac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\dfrac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\dfrac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leq 8$$

$\boxed{37}$

Cho $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ và phân biệt:

Chứng minh rằng có $2$ số $x,y \in {a,b,c,d}$ $(x \neq y)$ sao cho:
$$\frac{1+xy}{\sqrt{1+x^{2}}\sqrt{1+y^{2}}}> \frac{1}{2}$$

$\boxed{38}$

Cho $a, b, c$ không âm.Chứng minh rằng:

$$\sqrt{a^{2}+bc}+\sqrt{b^{2}+ca}+\sqrt{c^{2}+ab}\leq \frac{3}{2}(a+b+c)$$

$\boxed{39}$

Cho $x,y,z$ dương thỏa mãn $xy+yz+xz=1$.

Chứng minh rằng:
\[
x^2 + y^2 + z^2 + 4\left( {\frac{1}{{x^2 + 1}} + \frac{1}{{y^2 + 1}} + \frac{1}{{z^2 + 1}}} \right) \ge 10
\]

$\boxed{40}$

Cho $a, b, c \in [0,1]$.Tìm GTLN của :

$$P = \dfrac{a^3+2}{b^2+1}+\dfrac{b^3+2}{c^2+1}+\dfrac{c^3+2}{a^2+1}$$

$\boxed{41}$

Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn $xy+xz+yz=1$. Chứng minh rằng $$(\frac{1-x^2}{1+x^2})+(\frac{1-y^2}{1+y^2})+2(\frac{1-z^2}{1+z^2})\leq \frac{9}{4}$$

___________________________

Tổng hợp từ trang $198 \rightarrow 197$ tại $Box$ $THPT$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 23-07-2015 - 14:25

$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#6 Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1395 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ĐH Quốc Gia Hà Nội}$ $\textrm{Trường ĐH Công Nghệ}$
  • Sở thích:$\textrm{Làm Những Gì Mình Thích}$

Đã gửi 24-07-2015 - 15:47

$\boxed{42}$Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của một tam giác có chu vi là $2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

                                                                                        

                                                                              $A=4\left(a^3+b^3+c^3\right)+15abc$

 

$\boxed{43}$Cho $x,y$, là các số thực $x\geq y\geq z\geq 1, 3x^{2}+3y^{2}+8z^{2}=32$.Tìm giá trị lớn nhất của:

                                                                                     

                                                                              $P=x\sqrt{y-z}+y\sqrt{x-z}+2\sqrt{xyz}$. 

 

$\boxed{44}$Cho $a,b,c$ là những số dương thỏa mãn:$a+b+c=\sqrt{abc}$.Chứng minh rằng:

                                                                                               

                                                                                        $ab+bc+ca\geq 9(a+b+c)$

 

$\boxed{45}$Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $ab+bc+ca≤abc$.Chứng minh rằng:

                                                                                     

                                                                                 $\sum \frac{1}{10a+b+c}\leq \dfrac{1}{12}$

 

$\boxed{46}$Cho $x,y\geq 1$.Chứng minh rằng:

                                                                     

                                                                           $\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}}\leq \frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{1+xy}}$

 

$\boxed{47}$Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :

                           

          $$4abc\left [\dfrac{1}{(a+b)^2c}+\dfrac{1}{(b+c)^2a}+\dfrac{1}{(c+a)^2b}\right ]+\dfrac{a+c}{b}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}\ge 9$$

 

$\boxed{48}$Cho $x_1,x_2,...,x_n$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x_1^2+x_2^2+...+x_n^2=1$ . Tìm GTNN của biểu thức :

                                                                             

                                                                         $$\sum_{i=1}^n \dfrac{x_i^5}{x_1+x_2+...+x_n+x_i}$$

 

$\boxed{49}$Cho $x,y,z$ dương. Chứng minh bất đẳng thức:

                                                       

                                                                $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+4\sqrt{2}\sqrt{\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}}\geq 6$   

 

$\boxed{50}$Cho các số thực dương $a, b, c$. Chứng minh rằng :

                                                         

                                              $$\dfrac{b(a+b)}{(c+a)^2}+\dfrac{c(c+b)}{(a+b)^2}+\dfrac{a(c+a)}{(b+c)^2}\ge \dfrac{3}{2}$$

 

$\boxed{51}$Cho $a,b,c \ge 0$ và không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh:

                                        

                            $$\dfrac{ab}{(a+b)^2}+\dfrac{bc}{(b+c)^2}+ \dfrac{ca}{(c+a)^2} \le \dfrac{1}{4}+\dfrac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$ 

 

$\boxed{52}$ Cho $a,b>0$ thỏa mãn $a^2+b^2=5$.Chứng minh

                                                                                                     

                                                                                                      $a^3+b^6 \geq 9$

$\boxed{53}$Cho $x+y+z=9$.Tìm giá trị nhỏ nhất của:

                                                                                               

                                                                                                $T=2^{x+1}+3^{y}+4^{z}$

___________________________

Tổng hợp trang 196 tại BOX BĐT-Cực Trị của THPT


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 24-07-2015 - 15:54


#7 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:A1K45 PBC
  • Sở thích:Magic Kaito,Holmes,Conan...

Đã gửi 26-07-2015 - 11:02

Bài 54 Cho $a,b,c >0$. Chứng minh rằng:

                                         

$$\sum {\frac{{ab}}{{a + 2{a^2} + {a^3} + 2{b^4} + 2{c^8} + 10}} < \frac{1}{4}} $$

 

Bài 55  Cho 3 số dương $x,y,z$ thoả mãn: $x+y+z = \frac{xy}{z}$. Chứng minh rằng: 

                                         

$$(y+z)^4+ (x+z)^4 < (x+y)^4$$

Bài 56 Chứng minh rằng với mọi $n\geq 1,n\in \mathbb{N}$ ta có

                                         

$$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}<\frac{7}{10}$$

 

Bài 57 Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoã mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:

                                         

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge \frac{3}{2}(a+b+c-1)$$

Bài 58 Cho $a,b,c,d$ là các số thực thỏa mãn $0 \le a \le c \le x \le d \le b$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:                                            

$$T = \sqrt {\left( {x - a} \right)\left( {b - x} \right)} + \sqrt {\left( {x - c} \right)\left( {d - x} \right)} $$
 

Bài 59 Cho các số $x,y,z$ không âm thoả mãn: $x+y+z=1$. Chứng minh BĐT sau:                                                                                        

$$\sqrt{x+y^{2}}+\sqrt{y+z^{2}}+\sqrt{z+x^{2}}\geq 2.$$

Bài 60 Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :
                                         

$$\left |\dfrac{a^3-b^3}{a+b}+\dfrac{b^3-c^3}{b+c}+\dfrac{c^3-a^3}{c+a}\right |\le \dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{4}$$
 

Bài 61 Cho $x, y, z$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=1$. Chứng minh rằng:
                                         

$$\dfrac{x}{3^x}+\dfrac{y}{3^y}+\dfrac{z}{3^z}\le \dfrac{1}{9}\left (3^{x+y}+3^{y+z}+3^{z+x}\right )$$

 

Bài 62 :
Cho $a, b, c >0, abc=1$. Chứng minh rằng:

                                         

$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}-\dfrac{3}{a+b+c}\ge\dfrac{2}{a^2+b^2+c^2}.(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2})$$

 

Bài 63
Cho $x,y,z, a,b,c$ là các số thực dương bất kì với $x+y+z=1$.Chứng minh rằng:
                                         

$$ax + by + cz + 2\sqrt {\left( {xy + yz + zx} \right)\left( {ab + bc + ca} \right)} \le a + b + c$$

 

Bài 64.
Cho $a;b;c$ là ba số thực dương thỏa mãn: $a.b.c+6.a+3.b+2.c=24$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:                                                    

$$M=a.b.c.(a^2+3).(b^2+12).(c^2+27)$$

Bài 65. 
Cho các số $a,b,c$ là các số dương. Hãy chứng minh bất đẳng thức sau:

                                         

$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \geq \dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$$

 

Bài 66.Tìm min của

                                         

$$x + \dfrac{11}{2x} + \sqrt{4(\dfrac{7}{x^{2}} + 1)}$$



#8 kimchitwinkle

kimchitwinkle

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 525 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 11-08-2015 - 00:19

Bài 67:  Cho các số thực x,y thay đổi thõa mãn: $\left\{\begin{matrix} x> 1;y> 1 & & \\ x+y\leq 4& & \end{matrix}\right.$ . Tìm GTNN của biểu thức  

                                            $P= \frac{x^{4}}{\left ( x-1 \right )^{3}}+\frac{y^{4}}{\left ( y-1 \right )^{3}}$

Bài 68: Cho các số a, b, c dương. Chứng minh

                           $\sqrt{\left ( a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a \right )\left ( ab^{2}+bc^{2}+ca^{2} \right )}\geq abc+\sqrt[3]{\left ( a^{3}+abc \right )\left ( b^{3}+abc \right )\left ( c^{3}+abc \right )}$

Bài 69: Cho $a;b;c\epsilon R^{+}$ thỏa mãn $a+b+c+d=3$ . Tìm $min$ của:

                                         $$P=\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}}$$

Bài 70 : Cho x,y,z $\in \begin{bmatrix} 0;1 \end{bmatrix}$, c/m

                                         $2(x^{3}+y^{3}+z^{3})-(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)\leq 3$

Bài 71 : Cho các số thực dương a,b,c.Cmr:

                        $ \left ( 1+\frac{1}{a} \right )^{4}+\left ( 1+\frac{1}{b} \right )^{4}+\left ( 1+\frac{1}{c} \right )^{4}\geq 3\left ( 1+\frac{3}{2+abc} \right )^{4}$

Bài 72 :   Ch0 $x,y,z>0$ chứng minh rằng:

                       $$4(xy+yz+zx)\leq \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{x+z})$$

Bài 73 :  Cho $a,b,c$ là các số không âm thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh:

              \[\sqrt {a + {{(b - c)}^2}} + \sqrt {b + {{(c - a)}^2}} + \sqrt {c + {{(a - b)}^2}} \ge \sqrt{3}\]

Bài 74 : Chứng minh rằng, với mọi số thực dương $a,b,c$ thì :

             $$\dfrac{3a^2-2ab-b^2}{a^2+b^2}+\dfrac{3b^2-2bc-c^2}{b^2+c^2}+\dfrac{3c^2-2ca-a^2}{c^2+a^2}\ge 0$$

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kimchitwinkle: 11-08-2015 - 00:21


#9 kimchitwinkle

kimchitwinkle

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 525 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 11-08-2015 - 00:54

Bài 75: Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng :

$$\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}-4\left (\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right )\ge 1-\dfrac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$

Bài 76 :  Chứng minh với $x,y,z>0$ ta có:

\[\frac{{x + y}}{{z + \sqrt[3]{{4\left( {{x^3} + {y^3}} \right)}}}} + \frac{{y + z}}{{x + \sqrt[3]{{4\left( {{y^3} + {x^3}} \right)}}}} + \frac{{z + x}}{{y + \sqrt[3]{{4\left( {{z^3} + {x^3}} \right)}}}} \le 2\]

Bài 77: Cho các số dương $x_1, x_2$ và các số thực $y_1, y_2, z_1, z_2$ và $x_1y_1> z_1^2, x_2y_2> z_2^2$. Chứng minh rằng :

$$\dfrac{1}{x_1y_1-z_1^2}+\dfrac{1}{x_2y_2-z_2^2}\ge \dfrac{8}{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2}$$

Bài 78: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :

$$\left (\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right )^2\ge \left (a+b+c\right )\left (\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right )$$

Bài 79 : C/m bất đẳng thức:

$(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)\geq (ab+ac+bc-1)^{2}$

Bài 80 : Cho $a,b,c,d,e,f$ là các số thực không âm thoả mãn $ab=cd=ef=1$. Chứng minh rằng :

$$\dfrac{a}{c+d+b-1}+\dfrac{b}{be+2a+f-2}+\dfrac{c}{ce+2d+f-2}+\dfrac{2d}{3c+a+b+d+e+f-4}+\dfrac{e}{b+d+c+a+f-3}+\dfrac{f}{af+b+2e-2}+\le a+b+c+d+e+f-3$$

Bài 81: Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng :

$$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}-27\left (\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\right )^{-2}\ge \dfrac{1}{3}\left [\left (\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right )^2+\left (\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right )^2+\left (\dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{a}\right )^2\right ]$$

Bài 82: Cho a,b,c>0. Chứng minh:

$(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{3}(a+b+c)\sqrt[3]{(abc)^{2}}$

Bài 83: Cho a,b,c là các số không âm, thỏa mãn không có 2 số nào đồng thời bằng 0.

1/$\sum (\frac{a}{b+c})^{2}+\frac{10abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$
2/$\sum (\frac{a}{b+c})^{3}+\frac{9abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq \sum \frac{a}{b+c}$

Bài 84: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\dfrac{a^2}{3a^2-ab+7b^2}+\dfrac{b^2}{3b^2-bc+7c^2}+\dfrac{c^2}{3c^2-ca+7a^2}\ge \dfrac{1}{3}.$

Bài 85: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :

$$\dfrac{1}{a(b+1)}+\dfrac{1}{b(c+1)}+\dfrac{1}{c(a+1)}\ge\dfrac{3}{\sqrt[3]{abc}\left (1+\sqrt[3]{abc}\right )}$$

Bài 86 : Cho $a,b,c$ dương. CMR

$\frac{a^{2}}{\sqrt{3a^{2}+8b^{2}+14ab}}+\frac{b^{2}}{\sqrt{3b^{2}+8c^{2}+14bc}}+\frac{c^{2}}{\sqrt{3c^{2}+8a^{2}+14ac}}\geq \frac{1}{5}(a+b+c)$

Bài 87: Cho các số thực dwong $a,b,c$ thoả mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a+b+1}{a+b^2+c^3}\leq \frac{(a+1)(b+1)(c+1)+1}{a+b+c}$

Bài 88: Cho $x_1, x_2, ..., x_n$ là các số thực dương thoả mãn $x_1x_2...x_n=1$. Chứng minh rằng :

$$n^n\prod \left (x_1^n+1\right )\ge \left (x_1+x_2+...+x_n+\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+...+\dfrac{1}{x_n}\right )^n$$

Bài 89: Cho $a,b,c$ là các số thực dương.Chứng minh rằng:

$\frac{(a+b)^{2}}{7a^{2}+4ab+b^{2}}+\frac{(b+c)^{2}}{7b^{2}+4bc+c^{2}}+\frac{(c+a)^{2}}{7c^{2}+4ca+a^{2}}\geq 1$

Bài 90: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a+b+c=3$. Tìm GTLN của :

$$P=27\left (a^2b+b^2c+c^2a\right )+7\left (ab^2+bc^2+ca^2\right )+2012 \left (ab+bc+ca\right )$$



#10 kimchitwinkle

kimchitwinkle

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 525 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 11-08-2015 - 01:25

Bài 91: Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng :

$$\dfrac{2\left (a^3+b^3+c^3\right )}{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)}+\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge 2$$

Bài 92: Cho $a,b,c>0$ .CMR:
$(a^{2}+2bc)(b^{2}+2ac)(c^{2}+2ab)\geq abc(a+2b)(b+2c)(c+2a)$
Bài 93: Chứng minh rằng với mọi $a, b, c>0$ thì :
$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{2\sqrt[3]{abc}}\geq \frac{(a+b+c+\sqrt[3]{abc})^{2}}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Bài 94: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1$.

Chứng minh rằng :
$$(x-1)^2(y-1)^2(z-1)^2 \ge 2^{15}xyz(x+y)(y+z)(z+x)$$

Bài 95: (HongKong TST 2001) Cho $a,b,c$ thực dương. Chứng minh $(a+b)^2+(a+b+4c)^2\ge \frac{100abc}{a+b+c}$

Bài 96: Cho các số dương $x,y,z$ thoả mãn $x+y+z=1$. Chứng minh rằng :

$$\dfrac{x}{xy+1}+\dfrac{y}{yz+1}+\dfrac{z}{zx+1} \ge \dfrac{36xyz}{13xyz+1}$$

Bài 97: Cho a, b, c > 0. CMR $\frac{abc(a+b+c+\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}})}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})(ab+bc+ca)}\leq \frac{2+\sqrt{13}}{18}$

Bài 98: Cho $a,b,c >0$, chứng minh các BĐT sau:

1. $\frac{4(a^3+b^3+c^3)}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)^2}\geq 4(a+b+c)$

2. $\frac{4(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}+\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc} \geq 12$

Bài 99: Cho $a , b , c > 0$.

Chứng minh rằng :
$\sum 2^{a + b} < 2^{a + b + c} + 1$.

Bài 100 : Bài 1:Cho a,b,c là các số dương thoả mãn a+b+c=3

Tìm GTNN của
$P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$
Bài 2:Cho a ,b,c là các số dương thoả mãn :a+b+c=3
CMR: $\frac{a}{b^{2}+1}+\frac{b}{c^{2}+1}+\frac{c}{a^{2}+1}\geq \frac{3}{2}$
Bài 3:Cho a,b,c dương thoả mãn:$abc= \frac{9}{4}$
CMR: $a^{3}+b^{3}+c^{3}> a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}$



#11 Mr Cooper

Mr Cooper

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 496 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Miền cắt trắng
  • Sở thích:$\mathbb{Geometry}$

Đã gửi 19-12-2016 - 12:10

Cho a,b,c > 0 và b là số nằm giữa a và c thỏa mãn \[ab + bc + ca = 3\]

 

Chứng minh rằng:

 

\[{a^2} + {b^2} + {c^2} \le 3 + {\left( {a - c} \right)^2}\]

 

[ Nguồn: Lê Việt Hưng ]



#12 nghiemkythu

nghiemkythu

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 21 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:ăn kẹo :) tổ hợp bất

Đã gửi 11-04-2018 - 11:28

có bản pdf ko ạ 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh