Chủ đề này có 2 trả lời

[eminemdech]

Cho $M$ là điểm tùy ý trong tam giác $ABC$. Chứng minh $S_{MBC}.\overrightarrow{MA}+S_{MCA}.\overrightarrow{MB}+S_{MAB}.\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

[dogsteven]

Ta sẽ chứng minh tổng quát hơn. Điểm $M$ nằm trong mặt phẳng chứa tam giác $ABC$ thì $S_{[MBC]}.\vec{MA}+S_{[MCA]}.\vec{MB}+S_{[MAB]}.\vec{MC}=0$

Giả sử $MA$ không song song với $BC$. Khi đó xét $A'$ là giao điểm của $MA$ và $BC$

Dễ thấy $\vec{MA'}=\dfrac{\vec{A'C}}{\vec{BC}}.\vec{MB}+\dfrac{\vec{A'B}}{\vec{CB}}.\vec{MC}$

Ngoài ra: $\dfrac{\vec{A'C}}{\vec{BC}}=\dfrac{\vec{A'C}}{\vec{A'C}+\vec{BA'}}=\dfrac{S_{[MCA]}}{S_{[MCA]}+S_{[MAB]}}$

Tương tự ta có: $\dfrac{\vec{A'B}}{\vec{CB}}=\dfrac{S_{[MAB]}}{S_{[MCA]}+S_{[MAB]}}$

và

$\vec{MA'}=-\dfrac{S_{[MBC]}}{S_{[MCA]}+S_{[MAB]}}\vec{MA}$

Thay vào cho ta điều phải chứng minh.

[eminemdech]

Ta sẽ chứng minh tổng quát hơn. Điểm $M$ nằm trong mặt phẳng chứa tam giác $ABC$ thì $S_{[MBC]}.\vec{MA}+S_{[MCA]}.\vec{MB}+S_{[MAB]}.\vec{MC}=0$

Giả sử $MA$ không song song với $BC$. Khi đó xét $A'$ là giao điểm của $MA$ và $BC$

Dễ thấy $\vec{MA'}=\dfrac{\vec{A'C}}{\vec{BC}}.\vec{MB}+\dfrac{\vec{A'B}}{\vec{CB}}.\vec{MC}$

Ngoài ra: $\dfrac{\vec{A'C}}{\vec{BC}}=$$\dfrac{\vec{A'C}}{\vec{A'C}+\vec{BA'}}=\dfrac{S_{[MCA]}}{S_{[MCA]}+S_{[MAB]}}$

Tương tự ta có: $\dfrac{\vec{A'B}}{\vec{CB}}=\dfrac{S_{[MAB]}}{S_{[MCA]}+S_{[MAB]}}$

và

$\vec{MA'}=-\dfrac{S_{[MBC]}}{S_{[MCA]}+S_{[MAB]}}\vec{MA}$

Thay vào cho ta điều phải chứng minh.

mình chưa hiểu chỗ này