Chủ đề này có 6 trả lời

[vutung97]

Bài 1: CMR với mọi số thực dương a,b,c

$\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b})$

Bài 2: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn:

$\frac{1}{a^2+b^2+4}+\frac{1}{b^2+c^2+4}+\frac{1}{c^2+a^2+4}\geq \frac{2}{3}$

CMR $$a^2+b^2+c^2+ab+bc+ab\leq 6$$

Bài 3: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn:

$\frac{1}{a^2+b^2+1}+\frac{1}{b^2+c^2+1}+\frac{1}{c^2+a^2+1}\geq 1$

CMR: $b^{2}+3\geq 2b(a+c)$

Bài 3 mình chứng mình bằng phản chứng, ko biết có đc không

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutung97: 15-07-2015 - 18:04

[phamquanglam]

Mình mới chỉ nghĩ ra được phần 1 thôi. Mất cả 2 tiết toán để nghĩ.
Giờ ko tiện viết vì mình lên bằng điện thoại. Để tối mình viết lại.
Bài 1 này dồn biến ẩn t là TBC của b,c.

[Minh Hieu Hoang]

 

Bài 2: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn:

$\frac{1}{a^2+b^2+4}+\frac{1}{b^2+c^2+4}+\frac{1}{c^2+a^2+4}\geq \frac{2}{3}$

CMR $$a^2+b^2+c^2+ab+bc+ab\leq 6$$

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz

$\sum$ $\frac{1}{a²+b²+4}$ $\geq$ $\frac{9}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+12}$

suy ra $\frac{9}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+12}$ $\geq$ $\frac{2}{3}$ 

suy ra 27 $\geq$ 4(a²+b²+c²) + 24

suy ra 3 $\geq$ 4(a²+b²+c²)

suy ra 0 $\leq$ a²+b²+c² $\leq$ 1

Lại có a²+b²+c² $\geq$ ab+bc+ac 

suy ra a²+b²+c²+ab+bc+ac $\leq$ 6(a²+b²+c²) $\leq$ 6 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minh Hieu Hoang: 16-07-2015 - 19:23

[Minh Hieu Hoang]

máy sao á sửa mãi ko được 

[arsfanfc]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz

$\sum$ $\frac{1}{a²+b²+4}$ $\geq$ $\frac{9}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+12}$

suy ra $\frac{9}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+12}$ $\geq$ $\frac{2}{3}$ 

suy ra 27 $\geq$ 4(a²+b²+c²) + 24

suy ra 3 $\geq$ 4(a²+b²+c²)

suy ra 0 $\leq$ a²+b²+c² $\leq$ 1

Lại có a²+b²+c² $\geq$ ab+bc+ac 

suy ra a²+b²+c²+ab+bc+ac $\leq$ 6(a²+b²+c²) $\leq$ 6 

 

máy sao á sửa mãi ko được 

bài bạn làm củng sai rồi..sửa làm j

Theo bạn thì $\sum \frac{1}{a^2+b^2+4} \geq \frac{9}{a^2+b^2+c^2+12}$

mà bạn lại $=> \frac{9}{a^2+b^2+c^2+12} \geq \frac{2}{3}$

Có $A \geq B$ ;$A \geq C$ không thể suy ra$B \geq C được$

[Minh Hieu Hoang]

cảm ơn bạn.<3

[vutung97]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz

$\sum$ $\frac{1}{a²+b²+4}$ $\geq$ $\frac{9}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+12}$

suy ra $\frac{9}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+12}$ $\geq$ $\frac{2}{3}$ 

suy ra 27 $\geq$ 4(a²+b²+c²) + 24

suy ra 3 $\geq$ 4(a²+b²+c²)

suy ra 0 $\leq$ a²+b²+c² $\leq$ 1

Lại có a²+b²+c² $\geq$ ab+bc+ac 

suy ra a²+b²+c²+ab+bc+ac $\leq$ 6(a²+b²+c²) $\leq$ 6 

sao lại lòi ra số 6 ở đoạn cuối vậy. 3 bài này trong chuyên đề yếu tố ít nhất của anh Cẩn. Mình nghĩ bài này cái điều kiên phải là VT>= 1/2  vì chẳng thấy dấu bằng đâu. Còn bài 3 ý tưởng của mình như thees này ko biết có đc ko.

Bài 3: Ta sẽ chứng minh. Nếu $b^{2}+3\leq  2b(a+c)$ thì  $\frac{1}{a^2+b^2+4}+\frac{1}{b^2+c^2+4}+\frac{1}{c^2+a^2+4}\geq \frac{2}{3}$

Sau khi chứng mình xong. Từ điều trên suy ra nếu $b^{2}+3\leq  2b(a+c)$ thì   $\frac{1}{a^2+b^2+4}+\frac{1}{b^2+c^2+4}+\frac{1}{c^2+a^2+4}\geq \frac{2}{3}$ mẫu thuẫn vs giả thiết đã cho. Từ đây suy ra đpcm O.o tức là $b^{2}+3\geq  2b(a+c)$