Đến nội dung

Hình ảnh

$\left ( 1+\frac{a}{b} \right )\left ( 1+\frac{b}{c} \right )\left ( 1+\frac{c}{a} \right )...$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
Chung Anh

Chung Anh

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 420 Bài viết

Cho a,b,c dương.Chứng minh rằng

a.$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}+\sqrt{\frac{a^2+c^2}{2}} $

 

b.$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \geq 9(ab+bc+ca)$

 

c.$\left ( 1+\frac{a}{b} \right )\left ( 1+\frac{b}{c} \right )\left ( 1+\frac{c}{a} \right )\geq 2\left ( 1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}} \right ) $


Chung Anh


#2
arsfanfc

arsfanfc

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết

Câu 2 có ở đây http://diendantoanho...22-geq-9abbcca/


~YÊU ~


#3
hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết

Cho a,b,c dương.Chứng minh rằng

a.$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}+\sqrt{\frac{a^2+c^2}{2}} $

 

b.$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \geq 9(ab+bc+ca)$

 

c.$\left ( 1+\frac{a}{b} \right )\left ( 1+\frac{b}{c} \right )\left ( 1+\frac{c}{a} \right )\geq 2\left ( 1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}} \right ) $

 a. Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có :

 $\sum \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\leq \sqrt{3\sum a^2}\leq \sqrt[4]{27(a^4+b^4+c^4)}$

 Nên ta chỉ cần chứng minh 

 $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \sqrt[4]{27(a^4+b^4+c^4)}$

 Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có :

 $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}$

 Lại có :

 $a^2b+b^2c+c^2a\leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}$

 $\Rightarrow \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^\frac{3}{2}}{\sqrt{(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}}$

 Áp dụng AM-GM ta có

 $(a^2+b^2+c^2)^2=(a^4+b^4+c^4)+(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\geq 3\sqrt[3]{(a^4+b^4+c^4)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^2}$

 $\Rightarrow (a^2+b^2+c^2)^\frac{3}{2}\geq \sqrt{(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2).\sqrt{27(a^4+b^4+c^4)}}$

 $\Rightarrow \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \sqrt[4]{27(a^4+b^4+c^4)}$



#4
arsfanfc

arsfanfc

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết

 

c.$\left ( 1+\frac{a}{b} \right )\left ( 1+\frac{b}{c} \right )\left ( 1+\frac{c}{a} \right )\geq 2\left ( 1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}} \right ) $

Đặt $(x;y;z)=(\frac{a}{\sqrt[3]{abc}};\frac{b}{\sqrt[3]{abc}};\frac{c}{\sqrt[3]{abc}})=> xyz=1$

BĐT$ <=> (1+\frac{x}{y})(1+\frac{y}{z})(1+\frac{z}{x}) \geq 2(1+x+y+z)$

$<=> (x+y)(x+z)(z+x) \geq 2(1+x+y+z)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi arsfanfc: 16-07-2015 - 09:58

~YÊU ~


#5
Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết

Cho a,b,c dương.Chứng minh rằng

 

 

c.$\left ( 1+\frac{a}{b} \right )\left ( 1+\frac{b}{c} \right )\left ( 1+\frac{c}{a} \right )\geq 2\left ( 1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}} \right ) $

$\left ( 1+\frac{a}{b} \right )\left ( 1+\frac{b}{c} \right )\left ( 1+\frac{c}{a} \right )\geq 2\left ( 1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}} \right )\Leftrightarrow \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}\geq \frac{2abc+2\sqrt[3]{(abc)^2}(a+b+c)}{abc}\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)\geq 2abc+2\sqrt[3]{(abc)^2}(a+b+c)$

Mặt khác:

AM-GM:

$(a+b)(b+c)(c+a)\geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{ac}.2\sqrt{bc}\Leftrightarrow \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{4}\geq 2abc$

Ta luôn có BĐT:$\frac{9}{8}(a+b)(b+c)(c+a)\geq (ab+bc+ac)(a+b+c)\geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}(a+b+c)\Leftrightarrow \frac{3}{4}(a+b)(b+c)(c+a)\geq 2\sqrt[3]{(abc)^2}(a+b+c)$

Như vậy ta có:$(a+b)(b+c)(c+a)\geq 2abc+2\sqrt[3]{abc^2}(a+b+c)$

Suy ra BĐT $\left ( 1+\frac{a}{b} \right )\left ( 1+\frac{b}{c} \right )\left ( 1+\frac{c}{a} \right )\geq 2\left ( 1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}} \right )$



#6
hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết

Cho a,b,c dương.Chứng minh rằng

a.$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}+\sqrt{\frac{a^2+c^2}{2}} $

 Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có :

 $\sum \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$

 Vì vậy ta cần chứng minh :

 $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$

 $\Leftrightarrow \sum \left ( \frac{a^2}{b}-2a+b \right )\geq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}-(a+b+c)$

 $\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)^2}{b}\geq \frac{\sum (a-b)^2}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)}}$

 $\Leftrightarrow \sum (a-b)^2.\left [ \frac{1}{b}-\frac{1}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)}} \right ]\geq 0$

 BĐT trên luôn đúng nên có điều cần chứng minh



#7
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

c.$\left ( 1+\frac{a}{b} \right )\left ( 1+\frac{b}{c} \right )\left ( 1+\frac{c}{a} \right )\geq 2\left ( 1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}} \right ) $

APMO 1998

Ta cần có: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geqslant \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}} $

Sử dụng AM-GM: $3(\sum_{cyc}\frac{a}{b})=\sum_{cyc}(\frac{2a}{b}+\frac{b}{c})\geqslant \sum_{cyc}\frac{3a}{\sqrt[3]{abc}} \Rightarrow Q.E.D$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh