Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$\sum_{i=1}^{n}\sqrt{x_{i}}\geq \left ( n-1 \right )\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{x_{i}}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 kimchitwinkle

kimchitwinkle

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 525 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 16-07-2015 - 12:06

Cho $x_{1},x_{2},....................., x_{n}$ là các số thực dương thỏa mãn $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1+x_{i}}=1$ . CMR : $\sum_{i=1}^{n}\sqrt{x_{i}}\geq \left ( n-1 \right )\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{x_{i}}}$



#2 ZzNightWalkerZz

ZzNightWalkerZz

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 159 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\text{Ɲιgнтмαяє}}$
  • Sở thích:$\blacklozenge\boxed{\text{GodOfCarnage}}\blacklozenge$

Đã gửi 16-07-2015 - 20:22

Giả thiết tương đương với $\sum \frac{x_i-(n-1)}{1+x_i}=0$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $\sum \frac{x_i-(n-1)}{\sqrt{x_i}}\geq0$

Vậy thì bây giờ ta chỉ việc chứng minh $(\sum \frac{x_i-(n-1)}{\sqrt{x_i}})(\sum \frac{\sqrt{x_i}}{x_i+1})\geq0=\sum \frac{x_i-(n-1)}{1+x_i}$

BĐT trên chính là BĐT Chebyshev. Để thỏa mãn ta chỉ còn phải chứng minh

Với $\frac{x_i-(n-1)}{\sqrt{x_i}}$ tăng dần thì $\frac{\sqrt{x_i}}{x_i+1}$ giảm dần khi cho $i$ di động từ $1$ đến $n$ (Đơn giản nên mình không chứng minh)


.

Reaper

.

.

The god of carnage





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh