Cho $x_{1},x_{2},....................., x_{n}$ là các số thực dương thỏa mãn $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1+x_{i}}=1$ . CMR : $\sum_{i=1}^{n}\sqrt{x_{i}}\geq \left ( n-1 \right )\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{x_{i}}}$
$\sum_{i=1}^{n}\sqrt{x_{i}}\geq \left ( n-1 \right )\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{x_{i}}}$
Bắt đầu bởi kimchitwinkle, 16-07-2015 - 12:06
#1
Đã gửi 16-07-2015 - 12:06
#2
Đã gửi 16-07-2015 - 20:22
Giả thiết tương đương với $\sum \frac{x_i-(n-1)}{1+x_i}=0$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $\sum \frac{x_i-(n-1)}{\sqrt{x_i}}\geq0$
Vậy thì bây giờ ta chỉ việc chứng minh $(\sum \frac{x_i-(n-1)}{\sqrt{x_i}})(\sum \frac{\sqrt{x_i}}{x_i+1})\geq0=\sum \frac{x_i-(n-1)}{1+x_i}$
BĐT trên chính là BĐT Chebyshev. Để thỏa mãn ta chỉ còn phải chứng minh
Với $\frac{x_i-(n-1)}{\sqrt{x_i}}$ tăng dần thì $\frac{\sqrt{x_i}}{x_i+1}$ giảm dần khi cho $i$ di động từ $1$ đến $n$ (Đơn giản nên mình không chứng minh)
.
Reaper
.
.
The god of carnage
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh