Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum_{i=1}^{n}\sqrt{x_{i}}\geq \left ( n-1 \right )\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{x_{i}}}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
kimchitwinkle

kimchitwinkle

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 526 Bài viết

Cho $x_{1},x_{2},....................., x_{n}$ là các số thực dương thỏa mãn $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1+x_{i}}=1$ . CMR : $\sum_{i=1}^{n}\sqrt{x_{i}}\geq \left ( n-1 \right )\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{x_{i}}}$



#2
ZzNightWalkerZz

ZzNightWalkerZz

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 159 Bài viết

Giả thiết tương đương với $\sum \frac{x_i-(n-1)}{1+x_i}=0$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $\sum \frac{x_i-(n-1)}{\sqrt{x_i}}\geq0$

Vậy thì bây giờ ta chỉ việc chứng minh $(\sum \frac{x_i-(n-1)}{\sqrt{x_i}})(\sum \frac{\sqrt{x_i}}{x_i+1})\geq0=\sum \frac{x_i-(n-1)}{1+x_i}$

BĐT trên chính là BĐT Chebyshev. Để thỏa mãn ta chỉ còn phải chứng minh

Với $\frac{x_i-(n-1)}{\sqrt{x_i}}$ tăng dần thì $\frac{\sqrt{x_i}}{x_i+1}$ giảm dần khi cho $i$ di động từ $1$ đến $n$ (Đơn giản nên mình không chứng minh)


.

Reaper

.

.

The god of carnage





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh