Chủ đề này có 2 trả lời

[royal1534]

Cho $a,b,c>0$ thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq 12$

Chứng minh rằng:$\frac{a^{2}}{b} +\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a} \geq 6$

[hoanglong2k]

Cho $a,b,c>0$ thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq 12$

Chứng minh rằng:$\frac{a^{2}}{b} +\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a} \geq 6$

 Đưa BĐT về đông bậc thì ta cần chứng minh 

 $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$

 $\Leftrightarrow \sum \left ( \frac{a^2}{b}-2a+b \right )\geq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}-(a+b+c)$

 $\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)^2}{b}\geq \frac{\sum (a-b)^2}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)}}$

 $\Leftrightarrow \sum (a-b)^2.\left [ \frac{1}{b}-\frac{1}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)}} \right ]\geq 0$

 BĐT trên luôn đúng

[Chung Anh]

Cho $a,b,c>0$ thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq 12$

Chứng minh rằng:$\frac{a^{2}}{b} +\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a} \geq 6$

Cách khác 

Có $VT=\frac{a^4}{a^2b}+\frac{b^4}{b^2c}+\frac{c^4}{c^2a}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}} $ (Cauchy Schwarz)

Mà $(a^2+b^2+c^2)^2 \geq 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

Nên => $\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sqrt{\frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)^2}}=\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)} =6$

=>đpcm