Chủ đề này có 4 trả lời

[nguoinghean]

Cho a; b; c >0 CMR: $\frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + \frac{c^{3}}{a} \geq ab + bc +ca$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 17-07-2015 - 21:30
Chú ý Latex và cách đặt tiêu đề

[Truong Gia Bao]

Cho a; b; c >0 CMR: $\frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + \frac{c^{3}}{a} \geq ab + bc +ca$

 

Áp dụng C-S và BĐT quen thuộc: $a^2+b^2+c^2\geq 3(ab+bc+ca)$

$\sum \frac{a^3}{b}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ca}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca}\geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca$

[Hoangtheson2611]

$\sum \frac{a^{3}}{b}\geqslant \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{ab+bc+ac}\geqslant \frac{(ab+bc+ac)^{2}}{ab+bc+ac}=ab+bc+ac$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

[Quoc Tuan Qbdh]

Dễ dàng chứng minh : $x^{3}+y^{3} \geq xy(x+y) <=> (x+y)(x-y)^{2} \geq 0$ ( đúng với $x,y >0$ )

Ta có : $\frac{a^{3}+b^{3}}{b}+\frac{b^{3}+c^{3}}{c}+\frac{c^{3}+a^{3}}{a}\geq ab+a^{2}+bc+b^{2}+ca+c^{2}\rightarrow đpcm$

[Dinh Xuan Hung]

Cho a; b; c >0 CMR: $\frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + \frac{c^{3}}{a} \geq ab + bc +ca$

AM-GM:

$\left\{\begin{matrix} \frac{a^3}{b}+ab\geq 2a^2 & & & \\ \frac{b^3}{c}+bc\geq 2b^2 & & & \\ \frac{c^3}{a}+ca\geq 2c^2 & & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \sum \frac{a^3}{b}+ab+bc+ac\geq 2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ac)\Rightarrow \sum \frac{a^3}{b}\geq ab+bc+ac$