Chủ đề này có 4 trả lời

[NhatTruong2405]

Cho $a+b+c=3$

C/mr: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2$

[vta00]

$a,b,c$ có điều kiện gì ko

[hoanglong2k]

 

Cho $a+b+c=3$

C/mr: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2$

 

 Theo Cauchy-Schwarz ta có : $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{3}{abc}\geq \frac{3.3(a+b+c)}{(ab+bc+ca)^2}=\frac{27}{(ab+bc+ca)^2}$

 Nên ta cần chứng minh $(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2\leq 27$

 BĐT trêm luôn đúng vì theo AM-GM :

 $(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)(ab+bc+ca)\leq \frac{1}{27}\left [a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\right ]^3=27$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 18-07-2015 - 05:21

[dogsteven]

$a,b,c$ là các số thực dương nữa mới đúng nhé. Nếu là số thực chỉ cần lấy $a=b\to -\infty$ là thấy sai ngay.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 18-07-2015 - 07:36

[KietLW9]

Ta có: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{a+b+c}{abc}=\frac{3}{abc}$

 

Ta cần chứng minh: $\frac{3}{abc}+2(ab+bc+ca)\geq (a+b+c)^2=9$

Lại có: $(ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)=9abc\Rightarrow 2(ab+bc+ca)\geq 6\sqrt{abc}$

$\Rightarrow \frac{3}{abc}+2(ab+bc+ca)\geq \frac{3}{abc}+6\sqrt{abc}=\frac{3}{abc}+3\sqrt{abc}+3\sqrt{abc}\geq 9$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1