$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2$
#1
Đã gửi 18-07-2015 - 00:53
#2
Đã gửi 18-07-2015 - 01:28
$a,b,c$ có điều kiện gì ko
#3
Đã gửi 18-07-2015 - 05:20
Cho $a+b+c=3$C/mr: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2$
Theo Cauchy-Schwarz ta có : $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{3}{abc}\geq \frac{3.3(a+b+c)}{(ab+bc+ca)^2}=\frac{27}{(ab+bc+ca)^2}$
Nên ta cần chứng minh $(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2\leq 27$
BĐT trêm luôn đúng vì theo AM-GM :
$(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)(ab+bc+ca)\leq \frac{1}{27}\left [a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\right ]^3=27$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 18-07-2015 - 05:21
- hoctrocuaHolmes và NhatTruong2405 thích
#4
Đã gửi 18-07-2015 - 07:33
$a,b,c$ là các số thực dương nữa mới đúng nhé. Nếu là số thực chỉ cần lấy $a=b\to -\infty$ là thấy sai ngay.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 18-07-2015 - 07:36
- NhatTruong2405 yêu thích
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
#5
Đã gửi 11-04-2021 - 15:26
Ta có: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{a+b+c}{abc}=\frac{3}{abc}$
Ta cần chứng minh: $\frac{3}{abc}+2(ab+bc+ca)\geq (a+b+c)^2=9$
Lại có: $(ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)=9abc\Rightarrow 2(ab+bc+ca)\geq 6\sqrt{abc}$
$\Rightarrow \frac{3}{abc}+2(ab+bc+ca)\geq \frac{3}{abc}+6\sqrt{abc}=\frac{3}{abc}+3\sqrt{abc}+3\sqrt{abc}\geq 9$
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh