Chủ đề này có 4 trả lời

[Riann levil]

Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ . Trực tâm $H$ . $M$ là trung điểm của $BC$ . Điểm $P$ thuộc đoạn $HM$ . Qua $P$ dựng đường thẳng vuông góc với $AB,AC$ cắt $AC,AB$ lần lượt tại $E,F$. Chứng minh trung điểm của $EF$ nằm trên trung trực của $BC$

[Changg Changg]

Đề phải là giao điểm hai tiếp tuyến tại $E,F$ của $(AEF)$ nằm trên trung trực $BC$

Xét $PF$ giao $AC$ tại $F''$, $PE$ giao $AB$ tại $E''$. $BH$ giao $AC$ tại $E'$ và $CH$ giao $AB$ tại $F'$

Giả sử hai tiếp tuyến tại $E, F$ của $(AEF)$ giao nhau tại $T$ thì $T$ là trung điểm $E''F''$, $T'$ là trung điểm $EF$

Dễ thấy rằng $\dfrac{AF'}{AC}=\dfrac{AF}{AF''}$, từ đó chứng minh được $\Delta T'F'F\sim \Delta TCF''$ và $\Delta T'E'E\sim \Delta TBE''$ nên $\Delta T'E'F' \sim \Delta TBC$

Do đó $T$ nằm trên trung trực $BC$ khi và chỉ khi $T'$ nằm trên trung trực $E'F'$. Đến đây chứng minh bằng bổ đề ERIQ đơn giản rồi.

Đến đây ta có thể mở rộng một chút bài toán cuối như sau:

Cho tứ giác $ABCD$ sao cho tia $DA$ cắt tia $CB$ tại $E$, tia $CD$ cắt tia $BA$ tại $F$. $M$ là trung điểm $EF$. Trên đoạn $AM$ chọn $P$ bất kỳ.

Qua $P$ kẻ đường thẳng song song với $ED$ cắt $CF$ tại $Q$. Qua $P$ kẻ đường thẳng song song với $BF$ cắt $CE$ tại $R$

Chứng minh trung điểm $QR$ nằm trên đường thẳng Gauss của tứ giác toàn phần $ABCD.EF$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Changg Changg: 28-07-2015 - 12:26

[viet nam in my heart]

 

Đề phải là giao điểm hai tiếp tuyến tại $E,F$ của $(AEF)$ nằm trên trung trực $BC$

 

Cái này đâu có đúng đâu 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 28-07-2015 - 18:15

[Changg Changg]

 

 

 

Cái này đâu có đúng đâu 

 

Đúng mà.

[Changg Changg]

 

 

 

Cái này đâu có đúng đâu 

À đúng rồi, đọc lộn, nếu đường thẳng qua $P$ vuông góc với $AC, AB$ cắt $AC, AB$ lần lược tại ... thì đề em đúng. Còn nếu vuông góc với $AB, AC$ cắt $AC, AB$ lần lược tại .... thì đề chủ pic đúng.