Cho tam giác $ABC$. $M$ là điểm bất kỳ nằm trong tam giác.
CMR: $S_{MBC}.\overrightarrow{MA}+S_{MCA}.\overrightarrow{MB}+S_{MAB}.\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$
Để tiện mình đặt $S_{MBC}=S_a$, $S_{MCA}=S_b$, $S_{MAB}=S_c$
gọi $D$ là giao điểm của $AM$ và $BC$
ta có : $\overrightarrow{MD}=\frac{DC}{BC}.\overrightarrow{MB}+\frac{DB}{BC}.\overrightarrow{MC}$
lại có : $\frac{DB}{DC}=\frac{S_{AMB}}{S_{AMC}}=\frac{S_c}{S_b}\Rightarrow \frac{DB}{BC}=\frac{S_c}{S_b+S_c}$, $\frac{DC}{BC}=\frac{S_b}{S_b+S_c}$
suy ra $\overrightarrow{MD}=\frac{S_b}{S_b+S_c}.\overrightarrow{MB}+\frac{S_c}{S_b+S_c}.\overrightarrow{MC}$ ($1$)
ta lại có $\frac{MD}{MA}=\frac{S_{MDB}}{S_{MAB}}=\frac{S_{MDC}}{S_{MAC}}=\frac{S_{MDB}+S_{MDC}}{S_{MAB}+S_{MAC}}=\frac{S_a}{S_b+S_c}$ và $\overrightarrow{MD}$, $\overrightarrow{MA}$ ngược hướng nên $\overrightarrow{MD}=-\frac{S_a}{S_b+S_c}.\overrightarrow{MA}$ ($2$)
từ ($1$) và ($2$) ta có đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LeHKhai: 19-07-2015 - 15:43