Chủ đề này có 5 trả lời

[hoctrocuaHolmes]

1. Cho $x,y,z$ là các số thưc không âm thỏa $xyz=1$.CMR
$\dfrac{x^4-x}{x^2+y+z}+\dfrac{y^4-y}{y^2+z+x}+\dfrac{z^4-z}{z^2+x+y}\geq 0$
2. Cho các số thực dương thỏa $a^2+b^2+c^2=9$
Tìm GTLN của $P=\sqrt{ab(6-bc)(6-ca)}+\sqrt{bc(6-ca)(6-ab)}+\sqrt{ca(6-ab)(6-bc)}$
3. Cho các số dương thỏa $ab+bc+ca \le 24abc$.Chứng minh rằng
$\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+c}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+a}} \ge 1$

[arsfanfc]

3. Cho các số dương thỏa $ab+bc+ca \le 24abc$.Chứng minh rằng
$\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+c}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+a}} \ge 1$

 

Ta có $P=\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+b}}=\sum \frac{a^2}{a\sqrt{a^2+b}} \geq \frac{(a+b+c)^2}{\sum a\sqrt{a^2+b}}$

Ta có:$ \sum a\sqrt{a^2+b}=\sum \sqrt{a}\sqrt{a^3+ab} \leq \sqrt{(a+b+c)(a^3+b^3+c^3+ab+bc+ca)} \leq \sqrt{(a+b+c)(a^3+b^3+c^3+24abc)} \leq \sqrt{(a+b+c)^4}=(a+b+c)^2$

$=> P \geq 1$

Dấu "=" khi$ a=b=c=\frac{1}{8}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi arsfanfc: 19-07-2015 - 13:02

[Dinh Xuan Hung]

3. Cho các số dương thỏa $ab+bc+ca \le 24abc$.Chứng minh rằng
$\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+c}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+a}} \ge 1$

Áp dụng BĐT$HOLDER$
$\left ( \sum \frac{a}{\sqrt{a^2+b}} \right )^2(\sum a(a^2+b))\geq (a+b+c)^3\Leftrightarrow \left ( \sum \frac{a}{\sqrt{a^2+b}} \right )^2\geq \frac{(a+b+c)^3}{\sum a(a^2+b)}$

Ta sẽ đi CM:$\frac{(a+b+c)^3}{\sum a(a^2+b)}\geq 1\Leftrightarrow (a+b+c)^3\geq \sum a^3+\sum ab\Leftrightarrow 3(a+b)(b+c)(c+a)\geq \sum ab$

Mặt khác theo BĐT $AM-GM$:

$3(a+b)(b+c)(c+a)\geq 3.2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=24abc\geq \sum ab\rightarrow$ BĐT đúng

$\Rightarrow \left ( \sum \frac{a}{\sqrt{a^2+b}} \right )^2\geq \frac{(a+b+c)^3}{\sum a(a^2+b)}\geq 1\Rightarrow \sum \frac{a}{\sqrt{a^2+b}}\geq 1$

[hoanglong2k]

1. Cho $x,y,z$ là các số thưc không âm thỏa $xyz=1$.CMR
$\dfrac{x^4-x}{x^2+y+z}+\dfrac{y^4-y}{y^2+z+x}+\dfrac{z^4-z}{z^2+x+y}\geq 0$

 Ta có :

 $\frac{x^4-x}{x^2+y+z}-\frac{x^4-x}{x^2(x+y+z)}=\frac{(x-1)^2(x^2+x+1)(x^2+xy+xz+y+z)}{x(x+y+z)(x^2+y+z)}\geq 0$

 $\Rightarrow \sum \frac{x^4-x}{x^2+y+z}\geq \sum \frac{x^4-x}{x^2(x+y+z)}=\frac{\sum x^2-\sum \frac{1}{x}}{x+y+z}=\frac{\sum x^2-\sum xy}{x+y+z}\geq 0$

[Riann levil]

 Ta có :

 $\frac{x^4-x}{x^2+y+z}-\frac{x^4-x}{x^2(x+y+z)}=\frac{(x-1)^2(x^2+x+1)(x^2+xy+xz+y+z)}{x(x+y+z)(x^2+y+z)}\geq 0$

 $\Rightarrow \sum \frac{x^4-x}{x^2+y+z}\geq \sum \frac{x^4-x}{x^2(x+y+z)}=\frac{\sum x^2-\sum \frac{1}{x}}{x+y+z}=\frac{\sum x^2-\sum xy}{x+y+z}\geq 0$

Sao bạn lại nghĩ ra cái này thế, Mình thấy bạn dùng cái này mấy lần rồi.     

[Chung Anh]

1. Cho $x,y,z$ là các số thưc không âm thỏa $xyz=1$.CMR
$\dfrac{x^4-x}{x^2+y+z}+\dfrac{y^4-y}{y^2+z+x}+\dfrac{z^4-z}{z^2+x+y}\geq 0$
 

Ta có $VT=\frac{x^4-x^2yz}{x^2+y^2xz+z^2yx}+\frac{y^4-y^2xz}{y^2+z^2xy+x^2yz}+\frac{z^4-z^2xy}{z^2+x^2yz+y^2xz}$

               $=\sum \frac{2x^4-x^2.2yz}{2x^2+y^2.2xz+z^2.2xy}$

               $\geq \sum \frac{2x^4-x^2(y^2+z^2)}{2x^2+y^2(x^2+z^2)+z^2(x^2+y^2)} $

Đặt $a=x^2;b=y^2;c=z^2$

=>$VT\geq \frac{2a^2-a(b+c)}{a+ab+ac+2bc}+\frac{2b^2-b(c+a)}{b+bc+ba+2ac}+\frac{2c^2-c(a+b)}{c+ac+bc+2ab}$

         $=\sum \left ( \frac{a(a-b)}{a+ab+ac+2bc}-\frac{a(c-a)}{a+ab+ac+2bc} \right )$

         $=\sum \left ( \frac{a(a-b)}{a+ab+ac+2bc}-\frac{b(a-b)}{b+bc+ba+2ac} \right )$

         $=\sum \left ( (a-b).\frac{a(b+bc+ba+2ac)-b(a+ab+ac+2bc)}{(a+ab+ac+2bc)(b+bc+ba+2ac)} \right )$

         $=\sum \left ( \frac{(a-b)^2(ab+2ac+2bc)}{(a+ab+ac+2bc)(b+bc+ba+2ac)} \right )\geq 0 $

=>đpcm

P/s: Cách này kinh dị quá