Chủ đề này có 3 trả lời

[Zaraki]

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ thoả mãn $$ mn\cdot(f(m)-nm)\cdot(n-f(n^2))$$ là số chính phương với mọi $m,n \in \mathbb{N}$.

 

Nguồn: AoPS

[Dialga Palkia]

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ thoả mãn $$ mn\cdot(f(m)-nm)\cdot(n-f(n^2))$$ là số chính phương với mọi $m,n \in \mathbb{N}$.

 

Nguồn: AoPS

Cho $F$ là tập số chính phương, $P$ là tập số nguyên tố lẻ.

$(m,n)$ thì $mn(f(m)-mn)(n-f(n^2))\in F$

$(1,1)$ thì $-(f(1)-1)^2 \in F\Rightarrow f(1)=1$

$(n^2,n)$ thì $n^3(f(n^2)-n^3)(n-f(n^2))\in F\Rightarrow n^3\geq f(n^2)\geq n$

$(1,n)$ thì $n(n-1)(f(n^2)-n)\in F\Rightarrow m(n-1)(mn-f(m))\in F$ nếu $f(n^2)>n$ $(*)$

$(1,2)$ thì $2(f(4)-2)\in F\Rightarrow f(4)=2$ hoặc $f(4)=4$ ( do $8\geq f(4)\geq 2$ )

Với $f(4)=2$ chứng minh quy nạp $f(n^2)=n$

Giả sử ta chứng minh được đến $f(k^2)=k$

Nếu $f((k+1)^2)>k+1$

$(k^2,k+1)$ do $(*)$ thì $k^3(k^2(k+1)-f(k^2))\in F\Rightarrow k^2+k-1\in F$ vô lí khi $k>1$

Vậy ta chứng minh được $f((k+1)^2)=k+1$ Hay ta chứng minh được hàm $f(n^2)=n$ thỏa mãn.

Với $f(4)=4$

Cho $p\in P$ giả sử $f((p+1)^2)=p+1$

$((p+1)^2,2)$ thì $4(p+1)^2(2(p+1)^2-f((p+1)^2))\in F\Rightarrow (p+1)(2(p+1)-1)\in F$ vô lí do $p+1\not \in F$

Nên $f((p+1)^2)>p+1$

Với mỗi $m$ cho một số $p\in P$ sao cho $p\not |m$

$(m,p+1)$ do $(*)$ thì $mp(m(p+1)-f(m))\in F\Rightarrow p|(m-f(m))$ do $p\not |m$

Mà do có vô số số $p$ thỏa mãn nên $m-f(m)=0$ hay ta tìm được hàm $f(m)=m$

Vậy ta có hai họ hàm thỏa $f(n^2)=n,\forall n\in \mathbb{N}^*$ và $f(n)=n,\forall \mathbb{N}^*$ 

 

@Zaraki: Lời giải của pco cũng khá hay

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dialga Palkia: 27-07-2015 - 20:19

[Zaraki]

Lời giải của thành viên pco bên AoPS. Lời giải của bạn (theo ý kiến của mình) hay hơn và "tự nhiên" hơn lời giải của pco. 

Let $g(m,n)=mn(f(m)-mn)(n-f(n^2))$
$g(1,1)=-(f(1)-1)^2$ can only be a perfect square when $f(1)=1$
 
If $f(n^2)=n$ $\forall n\in\mathbb N$, we get a first trivial solution :
$\boxed{\text{S1 : }f(n^2)=n\text{  }\forall n\in\mathbb N\text{ and f(m) is any value when m is not a perfect square}}$
 
Suppose now that $\exists a$ such that $f(a^2)\ne a$ 
$(a-1)^2g(m,a)=(1-a)m(f(m)-ma)g(1,a)$ and, since both $g(m,a)$ and $g(1,a)\ne 0$ are perfect squares, we get
$4(a-1)m(am-f(m))$ is a perfect square.
This may be written $(2ma-m-f(m))^2-(f(m)-m)^2$ is a perfect square $\forall m$
 
If infinitely many such $a$ exist, this implies $\boxed{\text{S2 : }f(n)=n\text{  }\forall n}$ which indeed is a solution.
 
Suppose now that $\exists$ finitely many $a$ such that $f(a^2)\ne a$ 
So $f(n^2)=n$ $\forall n>M$ for a given $M$
Let then such $n>M$ : $(a-1)^2g(n^2,a)=n^3(a-1)(an-1)g(1,a)$
And since both $g(n^2,a)$ and $n^2g(1,a)\ne 0$ are perfect squares, we get $n(a-1)(an-1)$ perfect square $\forall n>M$
Which is clearly impossible ,since $a\ne 1$
So no more solutions.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 27-07-2015 - 15:33

[tunglamlqddb]

Cho $F$ là tập số chính phương, $P$ là tập số nguyên tố lẻ.
$(m,n)$ thì $mn(f(m)-mn)(n-f(n^2))\in F$
$(1,1)$ thì $-(f(1)-1)^2 \in F\Rightarrow f(1)=1$
$(n^2,n)$ thì $n^3(f(n^2)-n^3)(n-f(n^2))\in F\Rightarrow n^3\geq f(n^2)\geq n$
$(1,n)$ thì $n(n-1)(f(n^2)-n)\in F\Rightarrow m(n-1)(mn-f(m))\in F$ nếu $f(n^2)>n$ $(*)$
$(1,2)$ thì $2(f(4)-2)\in F\Rightarrow f(4)=2$ hoặc $f(4)=4$ ( do $8\geq f(4)\geq 2$ )
Với $f(4)=2$ chứng minh quy nạp $f(n^2)=n$
Giả sử ta chứng minh được đến $f(k^2)=k$
Nếu $f((k+1)^2)>k+1$
$(k^2,k+1)$ do $(*)$ thì $k^3(k^2(k+1)-f(k^2))\in F\Rightarrow k^2+k-1\in F$ vô lí khi $k>1$
Vậy ta chứng minh được $f((k+1)^2)=k+1$ Hay ta chứng minh được hàm $f(n^2)=n$ thỏa mãn.
Với $f(4)=4$
Cho $p\in P$ giả sử $f((p+1)^2)=p+1$
$((p+1)^2,2)$ thì $4(p+1)^2(2(p+1)^2-f((p+1)^2))\in F\Rightarrow (p+1)(2(p+1)-1)\in F$ vô lí do $p+1\not \in F$
Nên $f((p+1)^2)>p+1$
Với mỗi $m$ cho một số $p\in P$ sao cho $p\not |m$
$(m,p+1)$ do $(*)$ thì $mp(m(p+1)-f(m))\in F\Rightarrow p|(m-f(m))$ do $p\not |m$
Mà do có vô số số $p$ thỏa mãn nên $m-f(m)=0$ hay ta tìm được hàm $f(m)=m$
Vậy ta có hai họ hàm thỏa $f(n^2)=n,\forall n\in \mathbb{N}^*$ và $f(n)=n,\forall \mathbb{N}^*$ 
 
@Zaraki: Lời giải của pco cũng khá hay

$f((p+1)^2)>p+1$, chỗ đó dùng làm gì bạn? Mình chưa hiểu!