Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$\sum (\frac{a}{a+b})^2\geq \frac{1}{4}+2\sqrt{\frac{2abc}{3(a+b+c)-\frac{1}{8}}}$

khó

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 314 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Hà Nội Amsterdam (chuyên Toán)
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 19-07-2015 - 17:36

Cho a,b,c>0: $ab+bc+ca=\frac{3}{4}$ sao cho  $a+b+c\neq \frac{1}{24}$. CMR:

$(\frac{a}{a+b})^2+(\frac{b}{b+c})^2+(\frac{c}{c+a})^2\geq \frac{1}{4}+2\sqrt{\frac{2abc}{3(a+b+c)-\frac{1}{8}}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangkhuong: 19-07-2015 - 17:36

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#2 Chris yang

Chris yang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 19-07-2015 - 17:59

Cho a,b,c>0: $ab+bc+ca=\frac{3}{4}$ sao cho  $a+b+c\neq \frac{1}{24}$. CMR:

$(\frac{a}{a+b})^2+(\frac{b}{b+c})^2+(\frac{c}{c+a})^2\geq \frac{1}{4}+2\sqrt{\frac{2abc}{3(a+b+c)-\frac{1}{8}}}$

 

Áp dụng AM-GM dễ dàng chứng minh được $\frac{1}{4}+2\sqrt{\frac{2abc}{3(a+b+c)-\frac{1}{8}}}\leq \frac{3}{4}$

 

Bây giờ cần chỉ ra $\sum (\frac{a}{a+b})^2\geq \frac{3}{4}$. Bằng cách chuyển $(\frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c})=(x,y,z)$ ta đi cm

 

$\sum \frac{1}{(1+x)^2}\geq \frac{3}{4}$ với $xyz=1$ đơn giản như sau:

 

$\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}+\frac{1}{(z+1)^2}\geq \frac{1}{xy+1}+\frac{1}{(z+1)^2}=\frac{z^2+z+1}{(z+1)^2}\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow (z-1)^2\geq 0$ ( đúng)

 

Nên ta có đpcm



#3 an1712

an1712

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Đông Triều Quảng Ninh
  • Sở thích:one piece, bảy viên ngọc rồng

Đã gửi 19-07-2015 - 18:04


 

 

Áp dụng AM-GM dễ dàng chứng minh được $\frac{1}{4}+2\sqrt{\frac{2abc}{3(a+b+c)-\frac{1}{8}}}\leq \frac{3}{4}$

 

Bây giờ cần chỉ ra $\sum (\frac{a}{a+b})^2\geq \frac{3}{4}$. Bằng cách chuyển $(\frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c})=(x,y,z)$ ta đi cm

 

$\sum \frac{1}{(1+x)^2}\geq \frac{3}{4}$ với $xyz=1$ đơn giản như sau:

 

$\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}+\frac{1}{(z+1)^2}\geq \frac{1}{xy+1}+\frac{1}{(z+1)^2}=\frac{z^2+z+1}{(z+1)^2}\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow (z-1)^2\geq 0$ ( đúng)

 

Nên ta có đpcm

dấu bằng khi nào z bạn


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi an1712: 19-07-2015 - 18:05

tiến tới thành công  :D


#4 Chris yang

Chris yang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 19-07-2015 - 21:33

dấu bằng khi nào z bạn

Tất nhien là khi $a=b=c=\frac{1}{2}$ 



#5 arsfanfc

arsfanfc

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp 10A1 -THPT LHP- Quảng Bình

Đã gửi 19-07-2015 - 21:37

Áp dụng AM-GM dễ dàng chứng minh được $\frac{1}{4}+2\sqrt{\frac{2abc}{3(a+b+c)-\frac{1}{8}}}\leq \frac{3}{4}$

 

Bây giờ cần chỉ ra $\sum (\frac{a}{a+b})^2\geq \frac{3}{4}$. Bằng cách chuyển $(\frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c})=(x,y,z)$ ta đi cm

 

$\sum \frac{1}{(1+x)^2}\geq \frac{3}{4}$ với $xyz=1$ đơn giản như sau:

 

$\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}+\frac{1}{(z+1)^2}\geq \frac{1}{xy+1}+\frac{1}{(z+1)^2}=\frac{z^2+z+1}{(z+1)^2}\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow (z-1)^2\geq 0$ ( đúng)

 

Nên ta có đpcm

bạn nói rõ hơn đoạn này được không  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:


~YÊU ~


#6 Chris yang

Chris yang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 19-07-2015 - 21:41

bạn nói rõ hơn đoạn này được không  :closedeyes:  :closedeyes:

Sao vậy nhỉ, xài AM-GM thôi mà :D $ab+bc+ac\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$ suy ra $abc\leq \frac{1}{8}$ và $(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)$ suy ra $a+b+c\geq \frac{3}{2}$ nên VP $\leq \frac{3}{4}$



#7 an1712

an1712

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Đông Triều Quảng Ninh
  • Sở thích:one piece, bảy viên ngọc rồng

Đã gửi 20-07-2015 - 11:33

Áp dụng AM-GM dễ dàng chứng minh được $\frac{1}{4}+2\sqrt{\frac{2abc}{3(a+b+c)-\frac{1}{8}}}\leq \frac{3}{4}$

 

Bây giờ cần chỉ ra $\sum (\frac{a}{a+b})^2\geq \frac{3}{4}$. Bằng cách chuyển $(\frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c})=(x,y,z)$ ta đi cm

 

$\sum \frac{1}{(1+x)^2}\geq \frac{3}{4}$ với $xyz=1$ đơn giản như sau:

 

$\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}+\frac{1}{(z+1)^2}\geq \frac{1}{xy+1}+\frac{1}{(z+1)^2}=\frac{z^2+z+1}{(z+1)^2}\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow (z-1)^2\geq 0$ ( đúng)

 

Nên ta có đpcm

x=y=z=$\frac{1}{2}$  ko thảo mã đâu bạn,mk nghĩ bài này ko có dấu =


tiến tới thành công  :D






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh