Chủ đề này có 2 trả lời

[Thao Huyen]

$a,b,c>0.CMR:\sum \frac{a^2}{(a+b)^2}+\frac{2abc}{\prod (a+b)}\geqslant 1$

[Hoang Nhat Tuan]

$a,b,c>0.CMR:\sum \frac{a^2}{(a+b)^2}+\frac{2abc}{\prod (a+b)}\geqslant 1$

Đặt: $\frac{b}{a}=x;\frac{c}{b}=y;\frac{a}{c}=z$ thì $xyz=1$

BĐT được viết lại thành:

$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{2}{(x+1)(y+1)(z+1)}\geq 1$

Giả sử $(y-1)(z-1)\geq 0$ theo Dirichlet thì $(y+1)(z+1) \leq 2(yz+1)$

Và theo một kết quả quen thuộc thì: $\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}\geq \frac{1}{1+yz}$

Áp dụng vào ta thu được: 

$VT\geq \frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{(1+x)(1+yz)}$

Kết hợp $xyz=1$ thì: $VT\geq \frac{1}{(1+x)^2}+\frac{x}{(1+x)^2}+\frac{x}{x+1}=1$

[Thao Huyen]

Cách khác ntn:

$\frac{1}{1+x}=\frac{1+m}{2};\frac{1}{1+y}=\frac{1+n}{2};\frac{1}{1+z}=\frac{1+p}{2}\Rightarrow m+n+p+mnp=0;ine\Leftrightarrow \sum (\frac{m+1}{2})^2+\frac{\prod (m+1)}{4}\geqslant 1\Leftrightarrow m^2+n^2+p^2+m^2n^2p^2\geqslant 4mnp$

Đúng theo $AM-GM$ $4$ số. :v