cho a,b,c sao cho $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geqslant 2$.cm:$abc\leqslant \frac{1}{8}$
cho a,b,c sao cho $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geqslant 2$.cm:$abc\leqslant \frac{1}{8}$
Bắt đầu bởi minhhien2001, 20-07-2015 - 12:36
#2
Đã gửi 20-07-2015 - 13:25
VuHongQuan
-
- Thành viên
-
- 171 Bài viết
Trung sĩ
ta có : $\frac{1}{a+b}\geq (1-\frac{1}{b+1})+(1-\frac{1}{c+1})=\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 2\sqrt{\frac{bc}{(b+1)(c+1)}}(AM-GM)$
tương tự ta có : $\frac{1}{b+1}\geq 2\sqrt{\frac{ac}{(a+1)(c+1)}}\\\frac{1}{c+1}\geq 2\sqrt{\frac{ab}{(a+1)(b+1)}}$
nhân 3 vế bđt lại $\Rightarrow abc\leq \frac{1}{8}$(đpcm) .OK
- minhhien2001 yêu thích
#3
Đã gửi 20-07-2015 - 14:11
Hoang Nhat Tuan
-
- Thành viên
-
- 974 Bài viết
Hỏa Long
Cách khác: Đặt: $\frac{1}{a+1}=x;\frac{1}{b+1}=y;\frac{1}{c+1}=z$
$=>a=\frac{1-x}{x};b=\frac{1-y}{y};c=\frac{1-z}{z}$
Khi đó ta có: $x+y+z\geq 2$
Cần chứng minh: $8(1-x)(1-y)(1-z)\leq xyz<=>(2-2x)(2-2y)(2-2z)\leq xyz$
Lại có: $\prod (2-2x)\leq \prod (x+y-z)$
Và $\prod (x+y-z)\leq xyz$ (dễ dàng chứng minh)
BĐT được chứng minh
Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
